Dans un anneau de stockage, la périodicité interne permet d’améliorer la dynamique du faisceau en limitant le nombre de résonances pouvant être excitées ; cependant la présence de défauts quadripolaires1 est une des causes principales de brisure de cette symétrie et entraîne souvent une détérioration de la durée de vie et du taux d’injection via l’excitation de nonlinéarités. Donc, lorsque l’on désire optimiser une machine, une connaissance précise des défauts magnétiques est nécessaire pour établir un modèle aussi réaliste que possible ; alors seulement, les calculs d’ouverture dynamique, de carte en fréquence prennent tout leur sens.
Le programme LOCO (Linear Optics from Closed Orbits) a été écrit par Safranek (1997) dans cette optique pour analyser la matrice-réponse du National Synchrotron Light Source de Brookhaven et en déduire les gradients des quadripôles, les défauts des éléments magnétiques (alignements, rotations des éléments). Tout le programme repose sur l’analyse de l’orbite fermée en approximation linéaire. Cette méthode2 a déjà eu de nombreuses applications — voir par exemple pour l’Advanced Light Source (Robin et al., 1996) et pour l’anneau VUV du National Synchrotron Source (Safranek et Kramer, 1997) —
Dans ce travail, on se propose d’appliquer LOCO à Super-ACO. Dans une première partie, la méthode de calcul de la matrice-réponse est rappelée. Puis l’utilisation du programme LOCO est présentée et testée sur un exemple simple. Enfin, l’expérience du 19 juin 2000 est dépouillée : trois matrices-réponse ont été acquises pour trois configurations distinctes : hexapôles éteints, hexapôles allumés, hexapôles allumés et onduleurs fermés.
Le principal objectif est d’établir le jeu de défauts des gradients pour chaque cas et de valider la méthode. En discussion, une application des résultats est proposée pour restaurer la symétrie de Super-ACO.
Soit un dipôle fin de longueur , situé en
, donnant un angle ou impulsion (kick en
anglais)
à une particule, avec
la rigidité magnétique et
le champ
dipolaire intégré. Si juste avant l’impulsion, l’orbite fermée est
, alors juste après
l’impulsion, elle devient
. Trouver l’expression de l’orbite fermée
en
revient à
résoudre la relation de fermeture :
![]() | (5.1) |
où est la matrice de transfert de l’anneau sur un tour. La solution, exprimée en fonction des
paramètres de Twiss
, du nombre d’ondes
, est alors :
![]() |
Pour déduire l’expression de l’orbite fermée résultante en un endroit quelconque de
l’anneau, il suffit de propager la solution trouvée en
en utilisant la fonction de Green,
, de l’équation de Hill :
Pour un jeu de défauts dipolaires , en utilisant la linéarité de l’équation de Hill en la
perturbation dipolaire, l’orbite fermée résultante est simplement la superposition des orbites
fermées individuelles créées par une impulsion
(cf. Eq. 5.2), soit :
En expérience et en simulation avec le programme
MAD3
[50], la matrice-réponse est construite en allumant l’un après l’autre les correcteurs et en
enregistrant dans chacun des
BPM l’orbite fermée générée.
Expérimentalement, deux matrices sont construites : une pour des kicks d’angle et une
autre pour des kicks d’angle
. En effet, il subsiste une orbite fermée résiduelle créée par les
nonlinéarités des champs magnétiques. En calculant la différence de ces deux matrices, on élimine
ainsi l’orbite fermée résiduelle et l’on obtient une matrice-réponse équivalente à un kick d’angle
.
Le choix de la valeur du kick dipolaire est guidé par les deux considérations suivantes : d’une
part, une grande valeur de permet d’augmenter le rapport signal sur bruit de la mesure et donc
de réduire la barre d’erreur sur les valeurs de gradients trouvées par rapport au bruit aléatoire des
BPM ; d’autre part, une faible valeur de
permet de s’affranchir des nonlinéarités mais aussi de
rester dans une gamme de réponse linéaire de l’électronique. Une valeur intermédiaire doit donc
être choisie : en pratique des kicks de valeur induisant une perturbation de l’orbite fermée de
mm rms (valeur optimale pour le NSLS X-Ray Ring à Brookhaven :
mm rms — Safranek, 1997
—).
Le programme LOCO utilise une méthode des moindres carrés pour minimiser le « » entre
la matrice-réponse modèle,
, et la matrice-réponse expérimentale,
, en ajustant les
gradients quadripolaires :
![]() | (5.4) |
où la sommation a lieu sur les BPM et les correcteurs
, normalisée par le bruit des BPM
et
en utilisant une méthode de décomposition en valeurs singulières (SVD [96]). Les autres
paramètres pouvant être incorporés dans l’ajustement de la matrice-réponse non couplée sont
les gains des correcteurs (
), les gains des BPM (
) et le glissement de
l’énergie (
). Pour la matrice couplée, il faut ajouter la rotation des BPM et des
correcteurs.
Minimiser le revient à minimiser la norme du vecteur
dont les composantes sont définies
par :
![]() | (5.5) |
où l’indice varie de
à
. Alors en approximation linéaire, on
obtient4 :