B Figures en couleur

Annexe B
Figures en couleur

Introduction

Dans cette annexe, nous présentons les cartes en fréquence et ouvertures dynamiques des quatre machines étudiées : SOLEIL (section B.1), Super-ACO (section B.2), l’ESRF (section B.3) et l’ALS (section B.4). Ce sont les mêmes ﬁgures que celles en noir et blanc déjà présentées dans le corps de ce mémoire. La diﬀusion est ici codée suivant une échelle logarithmique de couleur allant du bleu pour une diﬀusion quasi nulle au rouge pour une diﬀusion élevée.

Nous rappelons l’expression de l’indice de diﬀusion utilisé, noté $D$ :

( ∘ (----------)----(----------)--) (2) (1) 2 (2) (1) 2 D = log10 νx − νx + νy − νy

où $(1) νx$ et $(1) νy$ sont les nombres d’ondes calculés sur les $N$ premiers tours de machine et $(2) νx$ et $ν(2)y$ ceux calculés pour les $N$ tours suivants.

Pour une orbite régulière, la diﬀusion sera quasi-nulle (couleur bleu) ;
Au voisinage d’une résonance, la diﬀusion est plus élevée. La particule a tendance à osciller transversalement (couleur jaune-orange) ;
Pour une orbite nonlinéaire voire chaotique, la diﬀusion est élevée (couleur rouge). Si l’intégration était plus longue, la particule serait perdue rapidement.

Le codage de la diﬀusion en couleur va faciliter la localisation des résonances dans l’ouverture dynamique : en particulier les régions hyperboliques où la diﬀusion est élevée vont être mises en exergue.

B.1 Le projet SOLEIL

Nous présentons les cartes en fréquence et ouvertures dynamiques pour l’optique faible émittance numéro 1 (Fig. B.1) et l’optique faible émittance numéro 1 modiﬁée (Fig. B.2). Le point de fonctionnement est $(νx,νy) = (18.28,8.38)$ , les chromaticités naturelles sont parfaitement compensées.

Pour le premier cas, la dynamique est marquée par la résonance d’ordre 7, $5νx + 2νy − 4 × 27 = 0$ , qui est atteinte pour $x = 24$ mm (cf. Fig. B.1). A faible amplitude, la diﬀusion est faible (vert), le mouvement est quasipériodique et régulier. A grande amplitude, la dynamique est perturbée par le nœud avec la résonance $9νx − 4 × 41 = 0$ : les largeurs de résonances se superposent, le mouvement est chaotique avec une diﬀusion élevée (orange-rouge).

Le second cas a été optimisé de manière à éviter les résonances précédentes. A ces ﬁns, les forces des hexapôles ont été modiﬁées : l’objectif est atteint (cf. Fig. B.2). La carte en fréquence est en contrepartie repliée sur elle-même, les dimensions de l’ouverture dynamiques sont similaires au réglage précédent avec une diﬀusion plus faible.

FIG. B.1:

Carte en fréquence (haut) et ouverture dynamique (bas) de l’optique faible émittance numéro 1 de SOLEIL ( $βx=10$ m et $βy = 8$ m). L’ouverture dynamique est grande. Elle est marquée par les résonances ; en particulier, la protubérance observée vers $x = 38$ mm correspond à la résonance d’ordre 9. La diﬀusion est faible au voisinage du point de fonctionnement (vert), plus importante au voisinage des résonances et élevée sur le bord de l’ouverture dynamique (rouge).

FIG. B.2:

Carte en fréquence et ouverture dynamique pour une surface de Poincaré en $s=0$ ( $βx = 10$ m et $βy = 8$ m) pour l’optique 1 modiﬁée de SOLEIL. L’ouverture dynamique est presque aussi grande que pour la première optique ; la carte en fréquence est repliée sur elle-même : sa lecture en est rendue plus diﬃcile. Son extension spatiale est réduite, moins de résonances sont rencontrées. La diﬀusion des orbites est globalement plus faible.

B.2 Super-ACO

B.2.1 Simulations : diﬀérents modèles de Super-ACO.

La carte en fréquence de Super-ACO modélisée comme machine idéale est donnée par la ﬁgure B.3. Toute la partie pour $νy < 1.60$ n’est pas représentée : elle correspond aux particules qui ont des nombres d’ondes au-delà de la résonance principale $νx + 2νy − 2 × 4 = 0$ et aux amplitudes $y>20$ mm dans l’ouverture dynamique. Suivant que l’on trace la carte en fréquence pour le premier ( $x > 0, y > 0$ ) et second ( $x < 0, y > 0$ ) quadrant, la résonance principale est traversée soit selon une région hyperbolique (peu de points en son voisinage cf. Fig. B.3 de gauche), soit selon une région elliptique (cf. Fig. B.3 de droite). Dans ce cas, comme la résonance a une grande largeur, un grand nombre de particules est capturé dans les îles de résonance : sur la carte en fréquence, on observe nettement la droite de résonance ; l’ouverture dynamique est « gonﬂée » (cf. région $20 < y < 40$ mm et $x > 0$ de l’ouverture dynamique).

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FIG. B.3:

Haut : Carte en fréquence tracée pour le premier ( $x > 0, y > 0$ ) et second ( $x<0,y > 0$ ) quadrant de l’ouverture dynamique. Super-ACO est modélisé comme machine idéale. Bas : Ouverture dynamique associée ( $βx = 5.6$ m et $βy = 10.8$ m). Le point de fonctionnement est le coin supérieur droit de la carte (origine de l’ouverture dynamique). La dynamique est principalement dominée par la résonance d’ordre 3 $(νx + 2νy − 2 × 4 = 0)$ qui donne la limite verticale de l’ouverture dynamique ( $y = 20$ mm). Toute la partie $y>20$ mm sur l’ouverture dynamique correspond à l’île de cette résonance : au centre la diﬀusion est faible (vert), car les particules sont capturée par la résonance et y restent ; sur les bords (régions hyperboliques)la diﬀusion est élevée (orange-rouge).

En incluant dans la modélisation de Super-ACO, les défauts de gradients quadripolaires issus des mesures magnétiques, la dynamique de l’anneau est peu modiﬁée (cf. Fig. B.4). Globalement, la diﬀusion est plus élevée, de nouvelles résonances sont excitées ; la symétrie 4 de l’anneau est brisée mais les défauts sont faibles : de l’ordre du pour mille (comparer avec la carte Fig. B.3 de gauche).

Pour le point de fonctionnement nominal, le point de fonctionnement est déplacé de $(νx,νy)= (4.7214, 1.6962)$ à $(νx, νy) = (4.7201 ,1.7005)$ et surtout les chromaticités ne sont plus nulles mais surcompensées aux valeurs $red ξx = 0.275$ et $red ξy = 0.766$ . Les forces des quatre familles hexapolaires sont donc complètement modiﬁées, si bien que la dynamique est complètement diﬀérente (cf. Fig. B.5). Le glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude est faible : la carte en fréquence est très « compacte » dans l’espace des fréquences, l’ouverture dynamique est réduite de près d’un facteur deux dans le plan horizontal ; elle est limitée par la résonance d’ordre 3, $νx+2νy− 2 × 4 = 0$ . Expérimentalement, cette résonance est observée mais à plus basse amplitude.

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FIG. B.4:

Carte en fréquence (haut) et ouverture dynamique (bas) calculées en incluant dans le modèle de Super-ACO les mesures magnétiques des quadripôles droits ( $βx = 5.6$ m et $βy = 10.8$ m). La diﬀusion est globalement plus élevée, les largeurs de résonances plus grandes. L’inﬂuence des défauts magnétiques reste faible (mêmes dimensions de l’ouverture dynamique).

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FIG. B.5:

Super-ACO deuxième quadrant ( $x<0,y > 0$ ) : carte en fréquence et ouverture dynamique pour le point de fonctionnement nominal ( $βx = 5.5$ m et $βy=11.5$ m). La carte en fréquence est très compacte : peu de résonances sont rencontrées. Il est diﬃcile de comprendre avec cette modélisation les observations expérimentales.

B.2.2 Expérience : prise en compte des champs de fuite quadripolaires.

Les mesures expérimentales du glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude ont permis de mettre en évidence l’inﬂuence des champs de fuites des quadripôles de Super-ACO. Cet eﬀet peut être modélisé par un pseudo-octupôle : pour la présente étude, nous avons modiﬁé le modèle de Super-ACO en incluant un octupôle équivalent au milieu de chacun des quadripôles de l’anneau. La dynamique du faisceau est complètement modiﬁée (comparer les ﬁgures B.6 et B.7) : le sens de variation de $νx$ avec l’amplitude est inversé, la carte en fréquence ne présente plus de repliement et a avec une grande extension spatiale. Le nombre de résonances est plus élevé mais les largeurs des résonances restent faibles si bien que l’ouverture dynamique est plus grande que sans composante octupolaire.

Lors des mesures expérimentales, il a été possible d’éteindre les familles hexapolaires H1 et H2 tout en conservant le faisceau dans l’anneau. La ﬁgure B.8 présente la dynamique associée qui est fortement altérée : la carte en fréquence est modiﬁée, en particulier le sens de variation de $νx(x)$ (cf. bord droit de la carte B.8 et Fig. B.7) ; de nombreuses résonances sont excitées et principalement la résonance $3νy = 5$ ; l’ouverture dynamique verticale est réduite de près d’un facteur deux (inﬂuence de $3νy = 5$ ). L’ouverture dynamique horizontale est trois fois plus petite.

Enﬁn pour simuler la dynamique réelle de l’anneau, nous avons volontairement surestimé l’eﬀet des champs de fuite. Les largeurs de résonances sont alors plus importantes et peuvent se recouvrir surtout à grande amplitude conduisant à des mouvements chaotiques (comparer les ﬁgures B.9 et B.7). La diﬀusion est élevée ; l’ouverture dynamique est constellée de résonances. Une analyse plus détaillée suggère comme nouvelles dimensions : $[−15,0]× [0, 6]$ mm, en prenant en compte les résonances. Ces dimensions seraient alors proches de l’expérience.

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FIG. B.6:

Sans composante octupolaire, la carte en fréquence de Super-ACO (haut) est repliée sur elle-même. L’ouverture dynamique (bas) est grande, la dynamique est peu marquée par les résonances.

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FIG. B.7:

Avec composante octupolaire, la dynamique de Super-ACO est complètement modiﬁée : grande extension spatiale de la carte en fréquence (haut) mais ouverture dynamique (bas) plus grande.

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FIG. B.8:

Avec composante octupolaire, familles hexapolaires H1 et H2 éteintes : la dynamique de Super-ACO est altérée : carte en fréquence modiﬁée (haut), ouverture dynamique verticale (bas) réduite de près d’un facteur deux (cf. Fig. B.7).

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FIG. B.9:

Composante octupolaire surestimée : la dynamique de Super-ACO est fortement altérée, carte en fréquence tronquée (haut) avec une grande diﬀusion et l’ouverture dynamique (bas) réduite dans les deux plans (cf. Fig. B.7).

B.3 L’ESRF : point de fonctionnement nominal

Les deux réglages magnétiques nominaux de l’ESRF ont été étudiés. L’anneau est supposé idéale avec sa 16-périodicité. Le point de fonctionnement est dans les deux cas le même : $(νx,νy)= (36.44 ,14.39)$ avec des chromaticités légèrement surcompensées : $ξrxed= 0.1$ et $ξred=0.4 y$ . Les deux réglages diﬀèrent uniquement par la pente à l’origine de la courbe en fréquence $νx(x)$ qui est modiﬁée en ajustement les forces des hexapôles. Expérimentalement le second réglage semble meilleur à fort courant par paquet en termes de durée de vie (communication personnelle, A. Ropert).

Pour le premier réglage hexapolaire (cf. Fig. B.10), les ouvertures dynamiques et cartes en fréquence ont été tracées pour les deux quadrants ( $x < 0,y > 0$ ) et ( $x > 0,y > 0$ ). L’ouverture dynamique est très grande si l’on ne prend pas en compte les résonances dans l’estimation de ses dimensions.

La dynamique est dominée à faible amplitude par la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ atteinte pour $x = 17$ mm dans l’espace des conﬁgurations (et $x = − 20$ mm). Elle est traversée suivant une région elliptique pour ( $x < 0,y > 0$ ) : dans l’espace des fréquences, on la voit nettement ; les particules sont capturées dans les îlots de résonance ; sa largeur est grande (cf. désertion de points de chaque coté de la résonance sur la carte en fréquence Fig. B.10 de gauche). Sur l’ouverture dynamique, on observe nettement les régions hyperboliques (jaune-orange) entourant la région elliptique (vert) pour $x = − 20$ mm. Dans le quadrant ( $x > 0,y > 0$ ), cette résonance est traversée suivant la région hyperbolique pour $x ≈ 16$ mm, la diﬀusion est plus élevée (cf. Fig. B.11).

A plus grande amplitude, la dynamique est dominée par la résonance entière $νx = 36$ . Sa largeur est grande : toutes les particules peuplant l’ouverture dynamique pour $− 40 < y < − 28$ mm sont capturées par la résonance. Bien que la majorité de ces conditions initiales correspondent au régime elliptique (vert sur l’ouverture dynamique), la résonance entière apparaît avec une grande diﬀusion sur la carte en fréquence (orange). Cet artefact provient simplement de la manière dont la carte en fréquence est tracée : les faibles amplitudes puis les grandes amplitudes (orange).

Pour la machine réelle, cette résonance ne pourra pas être traversée sans réduction importante des performances : en pratique toutes les particules pour $x < − 40$ mm (Fig. B.10) et $x > 30$ mm (Fig. B.11), i.e. à gauche de la résonance entière seront instables. Une estimation raisonable des dimensions de l’ouverture dynamique serait : $[− 27, 21 ]y=0 × [− 7, 7]x=0$ mm et même : $[−20,16]y=0 × [− 7, 7]x=0$ mm si la résonance d’ordre 5 n’était pas traversée.

Pour le second jeu hexapolaire, l’allure de carte en fréquence est complètement modiﬁée (cf. Fig. B.10). La diﬀusion globale est plus faible puisque la résonance entière n’est plus atteinte. La carte en fréquence a une petite extension dans l’espace des fréquences, peu de résonances sont rencontrées. La principale résonance $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ atteinte à grande amplitude : $−60<x < − 40$ mm (région elliptique sur Fig. B.11 de gauche) et $x ≈ 30$ mm (région hyperbolique sur Fig. B.11 de droite).

FIG. B.10:

Carte en fréquence (haut) et ouverture dynamique (bas) : premier jeu hexapolaire de l’ESRF pour une surface de section en $s = 0$ ( $βx = 35.6m$ et $βy = 2.5 m$ ). La dynamique est dominée par la résonance de couplage 3 :-2 :0 et la résonance entière $νx = 36$ . Les zones elliptiques et hyperboliques associées sont nettement identiﬁables sur l’ouverture dynamique.

FIG. B.11:

Carte en fréquence et ouverture dynamique pour le second réglage de l’ESRF hexapolaire calculée pour une surface de section à $s = 0$ ( $βx = 36 m$ et $βy = 2.5 m$ ). La dynamique est dominée par la résonance $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ atteinte à grande amplitude.

B.4 L’ALS

L’Advanced Light Source a été étudiée comme machine parfaite avec sa 12-périodicité. Dans ce cas, l’ouverture dynamique est très grande $[0, 22 ] × [0, 10]$ mm (cf. Fig. B.12). De nombreuses résonances sont excitées dont l’identiﬁcation est facilitée en utilisant la diﬀusion des orbites (jaune-orange). A grandes amplitudes, les largeurs de résonance se recouvrent conduisant à un mouvement nonlinéaire voire chaotique avec une diﬀusion élevée (rouge). La dynamique est dominée à grande amplitude par la résonance de couplage $νx−νy− 6 = 0$ .

FIG. B.12:

Carte en fréquence (haut) et ouverture dynamique (bas) calculées pour une maille parfaite de l’ALS pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 11.3m$ et $βy = 4.0 m$ ). La diﬀusion permet de nettement distinguer le réseau de résonance sur les deux ﬁgures.

Pour obtenir un modèle de l’ALS plus proche des observations expérimentales, nous avons introduit les défauts des quadripôles droits déduits des matrices réponses expérimentales (cf. Fig. B.13), puis ceux des quadripôles tournés pour obtenir un couplage eﬀectif de 1% (cf. Fig. B.14). La 12-périodicité de l’anneau est alors brisée, les largeurs de résonances sont plus grandes. L’ouverture dynamique horizontale (12 mm cf. Fig. B.14) est très proche de celle mesurée en expérience.

Enﬁn, nous avons obtenu la première carte en fréquence expérimentale d’un accélérateur (cf. Fig. B.15). Elle correspondrait au voisinage du point de fonctionnement de la carte B.14 où la diﬀusion est faible (vert). Pour cette expérience, le point de fonctionnement a volontairement été déplacé à $(ν = 14.275, ν = 8.167 ) x y$ . La carte en fréquence expérimentale révèle un réseau de résonances d’ordre 5, $4νx − 57 = 0$ , $3νx + 3νy − 67 = 0$ , $3νx + 2νy − 59 = 0$ et $2νx+3νy − 53 = 0$ . Au nœud de résonances, la diﬀusion des particules est élevée (la durée de vie et l’eﬃcacité d’injection sont fortement réduites). L’accord entre l’expérience et la modélisation de l’ALS est remarquable.

FIG. B.13:

Carte en fréquence et ouverture dynamique : maille avec défauts quadripolaires mesurés pour un surface de section en $s = 0$ ( $βx = 11.3 m$ et $βy=4.0m$ ). La 12-périodicité de l’ALS est brisée, l’extension spatiale de la carte en fréquence est réduite d’un facteur 2 dans le plan vertical.

FIG. B.14:

Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) de l’ALS ( $βx=11.3 m$ et $βy = 4.0 m$ ) : inﬂuence du couplage de 1% ajusté à partir d’une distribution de quadripôles tournés. La diﬀusion est globalement plus élevée. Seule la région voisine du point de fonctionnement reste régulière.

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FIG. B.15:

Espace des conﬁgurations et carte en fréquence expérimentale pour un point de fonctionnement antérieur avec mesure expérimentale de la diﬀusion des orbites (Steier, Robin, Laskar, Nadolski, 2000).

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B.2 Super-ACO

B.2.1 Simulations : diﬀérents modèles de Super-ACO.

B.2.2 Expérience : prise en compte des champs de fuite quadripolaires.

B.3 L’ESRF : point de fonctionnement nominal

B.4 L’ALS

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