A Compléments sur les intégrateurs

Annexe A
Compléments sur les intégrateurs

Introduction

Dans cette annexe, nous présentons des calculs et résultats complémentaires au chapitre 2 sur les intégrateurs symplectiques. Les applications de transfert des éléments principaux d’un accélérateur sont présentées pour d’autres approximations. Les équations du mouvement de la section droite sont nonlinéaires du fait du caractère relativiste des particules ; elles peuvent être intégrées sans aucune approximation en coordonnées rectangulaires (section A.1) ou curvilignes (section A.3). Les équations du mouvemnt pour un élément dipolaire sont intégrées en conservant la racine carrée du terme cinématique en coordonnées curvilignes (section A.2.1) ou rectangulaires (section A.2.2), l’expression de l’application de transfert des coins dipolaires en est ensuite déduite (section A.2.3). L’application de transfert du dipôle est présentée (section A.2.4), celle du dipôle simple avec le terme des petites machines (section A.2.6). Enﬁn, nous présentons la modélisation symplectique du déplacement ou de la rotation d’un élément magnétique (section A.3). Ces résultats sont pour la plupart issus des travaux de A.J. Dragt et E. Forest.

A.1 Intégration exacte d’une section droite

La section droite de longueur $L$ peut être intégrée sans aucune approximation en coordonnées rectangulaires ou curvilignes. Ces résultats permettront de pouvoir de vériﬁer la validité des approximations réalisées, i.e. le développement Taylor usuel de la racine carrée.

Hamiltonien : Son expression est rappelée en coordonnées rectangulaires (cf. Eq. 1.35 p. § avec $ˆAs=0$ et $h = 0$ ) :

∘ ------------------ 2 2 2 ℋ (x,y,l,px,py,δ) = − (1 + δ) − px − py

(A.1)

avec pour équations du mouvement :

( dx -----px------ dpx ||| ds = √(1+δ)2−-p2x−-p2y, ds = 0 { dy √----py------ dpy | ds = (1+δ)2− p2x− p2y, ds = 0 ||( dl = − √---1+-δ----, dδ = 0 ds (1+δ)2− p2x− p2y ds

(A.2)

Intégration des équations : Les variables $(x,y,l)$ sont encore cycliques, et l’on obtient :

( f i pi f i ||| x = x + √-(1+δ)2x−-p2−p2s, px = px { f i piy x y f i y = y + √-(1+δ)2−p2−p2s, py = py |||( f i -----1+δ-x--y f l = l− √ (1+-δ)2−p2x−p2ys, δ = δ

(A.3)

avec $s=L$ la longueur de la section droite.

A.2 Intégration d’un dipôle

A.2.1 Aimant secteur exact

J’ai annoncé page §, que le dipôle est complètement intégrable. Le but de section est de le montrer. Les équations sont toujours exprimées en fonctions des variables canoniques $(x,px,y,py,δ,l)$ .

Description et Hamiltonien : Pour la présente annexe, le dipôle est décrit en introduisant le cœﬃcient $b1$ qui dans la majorité des cas est égal à la courbure $h$ (Forest et al., 1994). Cette expression est néanmoins utile pour déduire l’expression d’une rotation en géométrie curviligne (cf. infra). Le Hamiltonien retenu est celui établi page § avec le potentiel vecteur donné par la formule 1.51 :

∘ -------2----2----2 x2 ℋ (x,y,l,px,py,δ) = − (1 + hx) (1 + δ) − px − py + b1x + b1h 2-

(A.4)

Les équations du mouvement deviennent :

	= p_x	(A.5a)
	= p_y	(A.5b)
	= −(1 + δ)	(A.5c)
	= h − b₁(1 + hx)	(A.5d)
	= 0	(A.5e)
	= 0	(A.5f)

Hypothèse de calcul : La seule hypothèse est l’approximation hard-edge. Le Hamiltonien A.4 est complètement intégrable.

Intégration exacte : Les variables $y$ et $l$ sont cycliques, donc leurs moments conjugués respectifs sont constants :

|-f----i-| |-f----i----| |py = py | et -δ--=-δ-=--δ- ---------

(A.6)

L’intégration des autres variables se fait par étapes successives. On commence par l’équation diﬀérentielle de $y(s)$ en utilisant les expressions (Eq. A.5d) puis (Eq. A.5b) :

dp_x	= hds − b₁(1 + hx)ds
	=
y^f	= yⁱ + ∫ + ∫ hds
	y^f = yⁱ + + s	(A.7)

en utilisant la primitive usuelle :

∫ ----1---- -t- √ -2----2dt = arcsin |a| + C˜, ˜C ∈ ℝ a − t

On déduit alors la solution pour $l(s)$ en comparant les équations A.5b et A.5c :

	l^f = lⁱ + + s	(A.8)
L’équation diﬀérentielle A.5d pour p_x(s) s’intégre en se servant des expressions A.5a et A.5c :

=	− hp_x − b₁h
=	− h
	+ b₁hp_x
soit après simpliﬁcation :

	= −h²p_x² ⇒ p_x = a cos(hs) + b sin(hs)
où les constantes a et b sont déterminées en fonction des conditions initiales, soit :

	p_x^f = p_xⁱ cos(hs) + sin(hs)	(A.9)
L’intégration de la dernière équation (x(s)) est alors immédiate :

	= h − b₁(h⁻¹ + x^f)
	x^f =	(A.10)

A.2.2 Aimant dipolaire en coordonnées rectangulaires

Hamiltonien et description : Il est également possible d’exprimer l’application de transfert en géométrie cartésienne. Le Hamiltonien est alors le même que celui en géométrie curviligne (cf. Eq. A.4) avec $h → 0$ :

∘ ------------------ ℋ (x,y, l,p ,p ,δ ) = − (1 + δ)2 − p2 − p2+ bx x y x y 1

(A.11)

Hypothèse de calcul : La seule hypothèse est l’approximation hard-edge. Le Hamiltonien A.11 est complètement intégrable.

Intégration des équations : L’expression des solutions s’obtient à partie des celles de l’aimant secteur (Eq. A.6 à A.10) en prenant la limite $h → 0$ (Forest, 1994) :

(| (∘ ------------f---------- ∘ ----------------------) ||| xf = xi + 1b1- (1 + δ)2 − (px)2 − (piy)2 − (1 + δ)2 − (pix)2 − (piy)2 ||| |||| pfx = pix − b1s[ ] ||{ f i piy- -----pix----- -----pfx------ y = y + b1 arcsin√ (1+δ)2−-(piy)2 − arcsin √ (1+δ)2−-(piy)2 || f i ||| py = py [ ] ||| f i (1+δ) -----pix----- -----pfx------ |||| l = l + b1 arcsin√ (1+δ)2−(piy)2 − arcsin √(1+δ)2− (piy)2 |( f δ = δ

(A.12)

avec $s=L$ et généralement $b1 = h$ .

A.2.3 Coin dipolaire

Description : Les applications de transfert du dipôle exprimées en géométrie curviligne, notée $𝒟curv$ et en géométrie cartésienne, notée $𝒟cart$ , sont reliées entre elles par l’ajout de l’application de chaque coin du dipôle notée $(θ) 𝒞 2$ (cf. Fig. 2.2 p. §) :

( ) ( ) 𝒟 = 𝒞 θ- 𝒟 𝒞 θ- curv 2 cart 2

(A.13)

Application de transfert : En fait, l’application de transfert d’un coin dipolaire est juste le cas limite de celle d’un dipôle secteur en géométrie curviligne (Forest, 1998, p. 368) : $h=→+∞, s → 0 et sh = θ$ :

(| (∘ ----------------------- ∘ ----------------------- ) |||xf=xi cosθ + b1 (1 + δ)2 − (pfx)2 − (piy)2 + pix sin θ − (1 + δ)2 − (pix)2 − (piy)2cosθ ||| (1∘ ----------------------- ) ||||pfx=pixcos θ + (1 + δ)2 − (pix)2 − (piy)2 − b1xi sinθ ||| i [ ] i {yf=yi + py- arcsin √----pix----- − arcsin√-----pfx----- + pyθ | b1 (1+δ)2−(piy)2 (1+δ)2− (piy)2 b1 |||pf=pi |||y y [ i f ] ||||lf=li + (1+-δ) arcsin √----px2---i2 − arcsin√----px2---i2 + (1+δ)θ ||| b1 (1+δ)−(py) (1+δ)− (py) b1 (δf= δ

(A.14)

A.2.4 Dipôle combiné sans terme petite machine

Description et Hamiltonien : Dans cette partie, nous considérons un dipôle combiné de gradient quadripolaire $b2$ , de courbure $h$ et de longueur $L$ . Son Hamiltonien développé à l’ordre deux en les impulsions est (cf. Eq. 2.41) :

p2 + p2 x2 ℋ (x,y, l,px,py,δ ) = -x----y-− h δx + (b2 + h2 )--− b2y2 2(1 + δ) 2

(A.15)

Les équations du mouvement ( $l$ est cyclique) :

( dx -px- dpx 2 |{ ds = 1+δ, ds = hδ − (b2 + h )x ddys = 1py+δ, dpdsy= b2y |( dl -p2x+p2y- dδ ds = 2(1+ δ)2 + hx, ds = 0

(A.16)

Hypothèses de calcul : Les approximations (a) des grandes machines, (b) des petits angles et (c) hard-edge ont été faites pour établir l’expression A.15 qui est complètement intégrable.

Application de transfert : Si l’on ne considère que les équations horizontales, on obtient une équation diﬀérentielle du second ordre de type oscillateur harmonique :

	= = −x
alors :

x^f	=	(A.17)
avec ω_x⁺ = et ω_x⁻ =

p_x^f	=	(A.18)

Les équations verticales donne l’équation diﬀérentielle d’un oscillateur :

	= = y
alors :

y^f	=	(A.19)
et :

p_y^f	=	(A.20)

J’attire l’attention du lecteur sur le fait que ces équations nécessitent une programmation plus complexe que pour l’utilisation d’un schéma symplectique. Le temps de calcul est pénalisé par les branchements correspondant aux diﬀérents cas.

A.2.5 Dipôle droit en coordonnées rectangulaires

Hamiltonien : son expression est obtenue en posant $h = 0$ dans le Hamiltonien 1.36 :

2 2 ℋ (x,y,l,p ,p ,δ) = -px +-py + b x − hx (1 + δ) x y 2(1 + δ) 1

(A.21)

avec $b1$ la force dipolaire.

( ( |{ dxds- = 1p+xδ |{ ddpsx = − (b1 − h(1 + δ)) dy- = -py dpy |( ds 1+pδ2+p2 |( ds = 0 ddsl = 2(x1+δy)2 + hx ddδs = 0

(A.22)

Hypothèses de calcul : Les approximations (a) des grandes machines, (b) des petits angles et (c) hard-edge ont été faites pour établir l’expression A.22 qui est complètement intégrable.

Application de transfert : L’intégration des équations du mouvement est immédiate :

( | f i pix- 1(b1- ) 2 ||| x = x + 1+ δs − 2 1+ δ − h s { pfx = pix − (b1 − h(1 + δ))s | f i piy- ||| y = y + 1+ δs ( pfy = piy

(A.23)

A.2.6 Dipôle avec terme petite machine

Description et Hamiltonien : Pour les machines à faible rayon de courbure comme Super-ACO, le terme hexapolaire $hx-p2x+p2y 2(1+δ)$ dit des petites machines ne peut plus être négligé. En particulier, il doit être pris en compte pour les calculs de chromaticité. Le Hamiltonien d’un dipôle simple est obtenu à partir des équations 1.36 et 1.51 :

2 2 2 ℋ (x,y,l,p ,p ,δ) = (1 + hx)-px +-py − hδx + h2 x-- x y 2 (1 + δ) ◟----◝◜--2◞ ◟------◝◜------◞ B(x) A(x,px,py,δ)

Je vais maintenant présenter un schéma d’intégration symplectique avec correcteur.

Hypothèses de calcul : (a) l’approximation des petits angles et (b) hard-edge sont réalisées pour établir cet Hamiltonien.

A.2.6.1 Intégration de A

Les équations du mouvement se réduisent à ( $y$ et $δ$ sont cycliques) :

= (1 + hx)	= −h + hδ	(A.24a)
= (1 + hx)	= 0	(A.24b)
= −(1 + hx) − hx	= 0	(A.24c)

On a immédiatement $|--------| |pfy = piy | ---------$ , puis pour $px$ (Eq. A.24a) :

	= −h avec a² = (p_yⁱ)² − 2(1 + δ)δ > 0
∫	= ∫ −ds
en utilisant la primitive usuelle :

∫	= arctan + , ∈ ℝ
on a alors :

arctan	= arctan −s
en utilisant :

tan(a + b)	= ,
on obtient :

	p_x^f = a	(A.25)

avec $θ=--ah- s 2(1+δ)$ et $a2 = (piy)2 − 2(1 + δ)δ > 0$ .

L’équation A.24a pour $x$ peut être maintenant intégrée :

∫	= ∫ ds
ln \|1 + hx\|	= ∫ tan(C − θ)ds avec tan C =
ln \|1 + hx\|	= 2 ln \| cos(C − θ)\| + , ∈ ℝ
Après passage à l’exponentielle, en développant le cosinus et en utilisant les conditions initiales, on obtient :

	(1 + hx^f) = (1 + hxⁱ)²	(A.26)

La dernière équation s’intègre alors immédiatement :

|-------------------------------------------------------------------| | ( ( i)2 ) [ ( i )] | yf = yi + 1 + px- (h−1 + xi) θ − sin θcos θ − 2arctan px- | | a a | ---------------------------------------------------------------------

(A.27)

Dans le cas $a2 < 0$ , les équations A.25 à A.27 deviennent :

\|1 + hx^f\|	=	(A.28)
p_x^f	=	(A.29)
y^f	=	(A.30)

avec $i C±= ± pax−+pai x$ , $a2 = − ((piy)2 − 2(1 + δ)δ)$ , $θ = 2(a1h+δ)s$ et $u ± = C ±e2θs$ .

A.2.6.2 Intégration de B

Il n’y a qu’une seule équation à intégrer, car toutes les autres variables canoniques sont des constantes du mouvement :

dp --x-= − b1x2 ⇒ pfx = pix − hx2s ds

(A.31)

A.2.6.3 Calcul du correcteur

Le calcul du correcteur est relativement aisé, il s’exprime par :

{{A, B },B } = h41-+-hx-x2 1 + δ

(A.32)

On obtient alors l’application recherchée :

{ { i sL{{A,B},B} xf = xi pfx = pix − h42+31+hxδ-xis e : yf = yi pf = pi y y

(A.33)

A.3 Déplacements et rotations d’un élément

Un élément magnétique peut dévié de son emplacement théorique en position $(Δx, Δy, Δs )$ et en moments $(Δp , Δp ,Δp ) x y s$ . En suivant l’approche développée par Forest et Hirata (1992), ces défauts peuvent se modéliser de manière extrêmement simple.

pict

FIG. A.1:

Schéma illustrant la rotation d’un angle $θ$ d’un élément rectiligne — inspiré de Forest, 1998 —

Par exemple, le schéma A.1 illustre la rotation d’un angle $θ$ d’un élément dans le plan x-z. L’application de transfert de l’élément tourné, notée $ℳRy$ , est obtenue comme la composition de trois applications de base¹ (Forest, 1998, chapitre 10) :

ℳRy = 𝒴 (θ)ℳ 𝒴 (− θ)

(A.34)

où $ℳ$ est l’application de transfert de l’élément et $𝒴 (θ)$ l’application décrivant une rotation d’axe $y$ et d’angle $θ$ .

L’application $𝒴 (θ)$ peut être considérée comme une rotation de générateur $xpz$ , soit (op. cit.) :

𝒴 (θ) = exp(θLxpz)

(A.35)

avec $∘ ------------------ p= (1 + δ)2 − p2− p2 z x y$ et $L$ la dérivée de Lie.

L’évaluation de l’opérateur A.35 est obtenue en posant $b1 = 0$ dans le cas du dipôle exact en géométrie curviligne (Eq. A.6 à A.10), dit diﬀéremment elle correspond à l’application de transfert d’une section droite exprimée en géométrie curviligne. Cette application a été introduite la première fois par Dragt (1982) :

( f ---(--xi----) f i ||| x = cosθ 1− pixtanθ , px = px cosθ + pz sinθ |||{ i i pz yf = yi + --p(yx-tianθ-)-, pfy = piy | pz 1− pxtpanzθ |||| f i -(1(+δ)xitanθ)- f |( l = l + pz 1− pixtanθ , δ = δ pz

(A.36)

avec $∘ ----------------------- p= (1 + δ)2 − (pf)2 − (pi)2 z x y$ . On remarquera que les applications A.36 et A.14 sont identiques.

Une rotation d’axe $x$ serait modélisée par l’opérateur $𝒳 (θ) = exp(θLypz)$ . L’application résultante est la même que celle obtenue pour $𝒴 (θ )$ en inversant les rôles de $x$ et $y$ , et de $px$ et $p y$ dans les formules A.36. Enﬁn, une rotation d’axe $z$ a pour générateur $xp − yp y x$ , donc $𝒵(θ)=exp(θLxpy− ypx)$ .

De manière similaire pour un défaut d’alignement horizontal $d$ , l’application de transfert $ℳTy$ d’un élément sera modélisée par la composition de trois applications comme (Forest, 1998, chapitre 10) :