Intégrateurs utilisés

2.1.4 Intégrateurs utilisés

La classe d’intégrateurs que nous avons utilisée est présentée dans l’article de Laskar et Robutel (2000) auquel le lecteur pourra se référer pour plus de détails.

Si l’on distingue $A$ et $B$ dans l’expression générale du Hamiltonien, les intégrateurs symétriques peuvent appartenir à l’une des deux classes $𝒮 𝒜 ℬ𝒜k$ et $𝒮ℬ 𝒜 ℬk$ déﬁnies par :

_2n	: e^c₁sL_Ae^d₁sL_εB…e^d_nsL_εBe^c_n+1sL_Ae^d_nsL_εB…e^d₁sL_εBe^c₁sL_A
_2n+1	: e^c₁sL_Ae^d₁sL_εB…e^c_n+1sL_Ae^d_n+1sL_εBe^c_n+1sL_A…e^d₁sL_εBe^c₁sL_A
_2n	: e^d₁sL_εBe^c₂sL_Ae^d₂sL_εB…e^d_nsL_εBe^c_n+1sL_Ae^d_nsL_εB…e^d₂sL_εBe^c₂sL_Ae^d₁sL_εB	(2.27)
_2n+1	: e^d₁sL_εBe^c₂sL_Ae^d₂sL_εB…e^c_n+1sL_Ae^d_n+1sL_εBe^c_n+1sL_A…e^d₂sL_εBe^c₂sL_Ae^d₁sL_εB

Par exemple l’intégrateur leapfrog (Eq. 2.21) appartient à la classe $𝒮 𝒜 ℬ𝒜1$ . C’est un intégrateur d’ordre 2 avec pour Hamiltonien formel $ℋ˜ = A + εB + 𝒪 (s2ε)$ . L’intégrateur d’ordre 4 de Forest et Ruth (Eq. 2.25) appartient à la classe $𝒮 𝒜 ℬ𝒜 3$ avec $ℋ˜ = A + εB + 𝒪 (s4ε)$ . Nous pouvons remarquer la présence de deux pas négatifs pour cet intégrateur, ce qui rend la valeur absolue de chaque pas intermédiaire relativement grande pour un pas total de 1 : $d1 ≈ 0.6756$ , $d2≈−0.1756$ , $c2 ≈ 1.3512$ et $c3 ≈ − 1.7024$ . Il s’ensuit que pour de grands pas d’intégration, la méthode perd de son eﬃcacité (coût élevé, instabilités numériques). Suzuki (1991) a démontré qu’il est impossible de réaliser un intégrateur symplectique d’ordre $n ≥ 3$ avec des pas tous positifs. Cependant, le problème des pas négatifs peut être partiellement solutionné.

Jusqu’à présent, nous n’avons pas pris en compte l’existence du petit paramètre $ε$ . La méthode retenue consiste à déterminer les coeﬃcients $(cj,dj)$ des intégrateurs 2.27 pour avoir un reste d’ordre $n 2 2 𝒪 (s ε + s ε )$ et non plus d’ordre $n 𝒪 (s ε)$ .

Par exemple pour un intégrateur de classe $𝒮𝒜 ℬ 𝒜 2$ (ordre quatre), on a :

c1sLA d1sL εB c2sLA d1sLεB c1sLA SABA2 = e e e e e

(2.28)

l’unique solution pour les coeﬃcients est :

1- 1- -1-- d1 = 2, c1 = 2(1 − c2) et c2 = √ 3

avec

( 1 c ) ℋ˜ = A + εB + s2ε2 − ---+ -1 {{A, B}, B} + 𝒪 (s4ε) ◟-------24----4---◝◜------------------◞ 𝒪(s4ε+s2ε2)

(2.29)

De manière similaire pour un intégrateur de classe $𝒮ℬ 𝒜 ℬ2$ ,

d1sL εB c2sLA d2sLεB c2sLA d1sLεB SBAB2 = e e e e e

(2.30)

les coeﬃcients positifs solutions sont l’unique triplet :

1- 2- 1- d1 = 6 , d2 = 3 et c2 = 2

Ce sont ces deux intégrateurs qui ont été retenus pour l’écriture du code de tracking.

En fait, dans le cas particulier où $A$ est quadratique en les impulsions et $B$ ne dépend que des positions, il est possible d’améliorer encore la méthode en introduisant un correcteur $𝒞$ déﬁni par (voir Laskar et Robutel, 2000) :

𝒞 = e−s3ε2c2L{{A,B},B}

(2.31)

où le coeﬃcient du correcteur $c$ est déterminé pour annuler le terme d’ordre $2 2 𝒪 (s ε )$ (voir par exemple l’expression 2.29 pour l’intégrateur $SABA2$ ). On notera que le correcteur introduit un pas négatif, mais qu’il est d’autant plus petit que l’ordre de la méthode est élevé (Tab 2.2).


n	$SABAn$	$SBABn$

1	$1∕12$	$− 1∕24$
2	$√ -- (2 − 3)∕24$	$1∕72$

TAB. 2.2:

Coeﬃcient $c$ du correcteur pour les intégrateurs $SABAn$ et $SABAn$ (extrait de Laskar et Robutel, 2000)

Typiquement, le schéma symplectique avec correcteur s’écrit, par exemple pour un intégrateur $SABA2$ :

SABAC2 = e−s3ε2c2L{{A,B},B}SABA2e −s3ε2c2L{{A,B },B}

(2.32)

L’intégrateur avec correcteur est encore symétrique et son reste est d’ordre $n 4 2 𝒪(s ε + s ε )$ .

Les intégrateurs que j’utiliserai sont d’ordre deux et quatre. Typiquement, un intégrateur d’ordre 4 sera utilisé pour intégrer les éléments de type dipôles, quadripôles alors qu’un intégrateur d’ordre $2$ suﬃra pour l’intégration des multipôles individuels.

Nous montrerons qu’un intégrateur d’ordre deux avec correcteur est plus précis d’un ordre de grandeur que l’intégrateur de Ruth (cf. infra). Je vais maintenant présenter le Hamiltonien local pour chacun des principaux éléments magnétiques et les approximations réalisées.

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