Lagrangien relativiste

1.2.1 Lagrangien relativiste

Soit $𝒜$ l’intégrale d’action pour une particule libre relativiste, $m$ sa masse, $q = (x,y,z )$ son vecteur position et $q˙= v$ son vecteur vitesse. Par application du principe de relativité, l’action doit être indépendante du choix du référentiel d’inertie, soit un invariant de Lorentz : l’intégrale d’action $𝒜$ est donc un scalaire. De plus, il ne doit ﬁgurer que des diﬀérentielles du premier degré sous le signe d’intégration (cf. Landau et Lifchitz, Physique théorique : Théorie des Champs, chap. I et II). La seule solution pour une particule libre est alors l’intervalle relativiste $ds$ à une constante de proportionnalité près, notée $α$ .

Si l’intégrale est prise sur une ligne d’univers s’étendant entre deux événements $a$ et $b$ qui sont les positions initiale et ﬁnale de la particule aux instants respectifs $t1$ et $t2$ , alors l’action $𝒜$ s’écrit :

∫ b 𝒜 = − α ds a

(1.1)

Or l’intervalle relativiste $ds$ est donné par la métrique de Minkowski :

∘ -----2- ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 ⇒ ds = c 1 − v--dt c2

(1.2)

où $c$ est la vitesse de la lumière ; donc l’action 1.1 peut se réécrire :

∫ ∘ ------- t2 v2- 𝒜 = − αc 1 − c2 dt t1

(1.3)

Par déﬁnition du Lagrangien ( $ℒ$ ), l’action est également déﬁnie par la relation (cf. Landau et Lifchitz, Physique théorique : Mécanique, chap. I) :

de´f ∫ t2 𝒜 = ℒ dt t1

(1.4)

On déduit des équations 1.3 et 1.4 l’expression du Lagrangien :

∘ -----2- ℒ (q, ˙q) = − αc 1 − v-- avec v = ˙q c2

(1.5)

La constante $α$ est déterminée en passant à la limite $c → +∞$ qui doit redonner l’énergie cinétique classique pour une particule libre ; en eﬀectuant un développement limité à l’ordre un de l’expression 1.5, on obtient :

classique 1 v2 v4 2 1 2 ℒ (q,q˙) −−−−→ ℒ ⇐ ⇒ − αc + --α---+ 𝒪 (-3-) = [− mc ] +--mv c→+ ∞ 2 c c 2

(1.6)

d’où $α=mc$ . Le terme entre crochets est constant donc il n’intervient pas dans les équations du mouvement : il correspond à l’énergie de masse de la particule.

Le Lagrangien d’une particule libre relativiste de masse $m$ s’exprime ﬁnalement par :

∘ ------- v2 ℒlibre(q,q˙) = − mc2 1 − -2- c

(1.7)

Pour une particule relativiste de charge $e$ en mouvement dans un champ électromagnétique, le Lagrangien total comporte un terme supplémentaire ( $inter ℒ$ ) caractérisant l’interaction de la particule avec le champ électromagnétique $(ϕ, A )$ (voir Landau et Lifchitz, Théorie des Champs, chap. III) :

∘ ------- v2 ℒ(q, ˙q) = ℒlibre + ℒinter = − mc2 1 − -2-+ eA (q) ⋅ v − eϕ(q) c

(1.8)

avec $A$ le potentiel vecteur et $ϕ$ le potentiel scalaire solutions des équations de Maxwell.

[next] [front] [up]