Second jeu hexapolaire

3.3.3 Second jeu hexapolaire

Le second jeu hexapolaire est une tentative d’optimisation du point de fonctionnement précédent (pas d’améliorations expérimentales notables sauf à fort courant¹⁸). Seule la pente à l’origine de la courbe en fréquence est modiﬁée de $4 − 2.3 × 10$ à $3 − 8.4 × 10$ en modiﬁant les réglages hexapolaires. Cependant la dynamique du faisceau est complètement modiﬁée (cf. Fig. 3.36). Nous nous attarderons sur la comparaison des deux optiques.

3.3.3.1 Dynamique on momentum

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FIG. 3.36:

Ouverture dynamique : second jeu hexapolaire de l’ESRF pour $s = 0$ , ( $βx=35.6 m$ et $βy = 2.5 m$ ). Elle est toujours très dissymétrique mais plus régulière que pour le premier jeu hexapolaire.

L’ouverture dynamique (cf. Fig. 3.36) est encore plus grande que celle obtenue pour le premier réglage (cf. Fig. 3.28) : $[− 80,45]y=0 × [− 15,15]x=0$ mm, plus régulière mais elle est toujours surestimée. Comme précédemment, la carte en fréquence (Fig. 3.37, voir aussi les cartes en couleur B.11) présente un repliement et peut être scindée en deux parties (Fig. 3.38) :

première partie (Fig. 3.38-a,b) correspondant aux amplitudes initiales $[− 30, 20] × [− 8, 8]$ mm dans l’espace des conﬁgurations, avec un glissement des nombres d’ondes très faible ( $Δ νx ≈ 0.2, Δ νy ≈ 0.1$ ). Cette partie est extrêmement régulière et pratiquement exempte de résonances avec peu de diﬀusion.
seconde partie(Fig. 3.38-c,d) qui est fournie en résonances ; les principales résonances sont données par la ﬁgure 3.39. Bien que la résonance entière $νx − 36 = 0$ ne soit jamais atteinte, la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ est déjà fortement excitée pour une machine idéale puisqu’elle capture toutes les particules de conditions initiales $x ∈ [− 74, − 42] ∪ [32, 35]$ mm.

De manière générale pour ce réglage, la dynamique est moins « compliquée » et beaucoup plus stable. Le glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude est plus faible, si bien que la résonance $3νx−2νy − 5 × 16 = 0$ est atteinte à une amplitude $x ≈ 32$ mm soit aussi grande que l’ouverture physique ( $x ≈ 17$ mm pour le premier réglage hexapolaire).

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FIG. 3.37:

Carte en fréquence et ouverture dynamique calculées pour le second réglage hexapolaire de l’ESRF pour une surface de section à $s = 0$ ( $βx = 36m$ et $βy = 2.5 m$ ). La dynamique est dominée par la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ . La diﬀusion (niveaux de gris) est assez faible avec une grande ouverture dynamique.

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FIG. 3.38:

Carte en fréquence de l’ESRF séparée en deux parties (a et c) pour faciliter la lecture : second réglage hexapolaire, pour $s = 0$ , ( $βx=36m$ et $βy = 2.5m$ ). L’ouverture physique représentée par un rectangle dans l’ouverture dynamique associée (b et d).

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FIG. 3.39:

Principales résonances identiﬁées sur la carte en fréquence correspondant au second réglage hexapolaire de l’ESRF. Le point de fonctionnement est à l’intersection des deux droites en traits pointillés. La carte en fréquence est repliée sur elle-même (voir aussi Fig. 3.38).

Deux orbites particulières ont été intégrées pour illustrer la diﬀusion au voisinage d’une résonance dans une zone de mouvement régulier et irrégulier (Fig. 3.40-a,b) :

La première orbite (O1) correspond aux conditions initiales $(x ,y ) = (15.81,8.05) 0 0$ mm avec pour nombres d’ondes initiaux $(ν0x,ν0y) = (36.3728,14.3728 )$ . L’intégration est réalisée sur 1 million de tours, les fréquences sont recalculées tous les 1 000 tours ; la particule oscille rapidement transversalement à la résonance $νx − νy − 22 = 0$ et lentement longitudinalement (voir aussi Fig. 3.39).

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FIG. 3.40:

Exemple de diﬀusion d’orbites (a) pour le second réglage de l’ESRF. La première orbite (O1) est intégrée sur 1 million de tours ; la particule oscille rapidement transversalement à la résonance $νx − νy − 22 = 0$ et lentement longitudinalement. La seconde orbite (O2) reste piégée 15 000 au voisinage de la résonance $11 : − 10 : 0$ avant de diﬀuser rapidement dans la zone chaotique de la carte en fréquence. La variation de ses nombres d’ondes avec le nombre de tours $N$ est tracée (b) jusqu’à sa perte au bout de 38 000 tours.

La seconde orbite (O2) est perdue au bout de 38 026 tours de l’anneau. Ses conditions initiales en amplitudes et en fréquences sont $(x0,y0) = (19.37, 9.86 )$ mm et $(ν0x,ν0y) = (36.3216, 14.3520)$ , soit au voisinage de la résonance $11νx − 10νy − 16 × 16 = 0$ . La particule y reste environ 15 000 tours avant de diﬀuser rapidement L’évolution de la partie fractionnaire des nombres d’ondes avec le nombre de tours est donné par la ﬁgure 3.40-b.

3.3.3.2 Dynamique oﬀ momentum

Comme pour le premier réglage, les valeurs réduites des chromaticités sont légèrement positives ( $red ξx=0.1$ et $red ξy = 0.4$ ). Le glissement des nombres d’ondes avec l’énergie $δ$ est illustré par la ﬁgure 3.42.

Les cartes en fréquence ont été tracées pour des écarts à l’énergie nominale compris entre $−3%$ et $3%$ (Fig. 3.41) en considérant toujours une machine parfaite.

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FIG. 3.41:

Dynamique oﬀ momentum pour le second jeu hexapolaire de l’ESRF (colonne 1 : $δ>0$ , colonne 2 : $δ < 0$ ). Les cartes en fréquence sont profondément modiﬁées entre $δ= − 3%$ et $δ = 3%$ (extension spatiale, repliement, résonances). Pour $δ > 0$ , la dynamique est dominée par la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ qui est atteinte à des amplitudes de plus en plus faibles.

L’ouverture dynamique diminue avec $δ$ (cf. Fig. 3.43) ; cette diminution est plus importante pour des écarts à l’énergie positifs.

L’allure et le repliement des cartes varient beaucoup avec $δ$ . Pour de grands écarts en énergie, les cartes sont pratiquement « plates » ; notons cependant que pour $δ = 2%$ , les nombres d’ondes diminuent avec l’amplitudes (distances au centre du faisceau) alors que pour $δ = − 2%$ , ils augmentent avec l’amplitude.

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FIG. 3.42:

Second réglage hexapolaire de l’ESRF : variation de la partie fractionnaire des nombres d’ondes avec l’énergie $δ$ .

Pour $δ > 0$ , la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy = 80$ est atteinte beaucoup plus tôt, et surtout, la résonance $νx = 36$ , systématique d’ordre 4 et destructive ici, limite la dynamique ; ce qui explique la diminution drastique de plus de 50 % de l’ouverture dynamique entre 0% et +2%. Par contre au-delà de +3%, la résonance $νx = 36$ n’est plus destructive pour une machine idéale : l’ouverture dynamique est de nouveau plus grande (frontière 2.3%).

Pour $δ < 0$ , de nouvelles résonances de couplages (Tab. 3.13) apparaissent de par le déplacement du point de fonctionnement avec l’énergie.

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FIG. 3.43:

Second réglage de l’ESRF : variation de l’ouverture dynamique horizontale avec l’énergie ( $δ$ ). Les dimensions sont données par rapport à l’orbite fermée. Elles sont prises en compte pour le calcul de la durée de vie Touschek en mode nonlinéaire.


$p νx + q νy + r = 0$	Ordre

$νx − 36 = 0$	1 :0 :0
$4νx + 1νy − 10 × 16 = 0$	4 :1 :2
$1νx − 2νy − 8 = 0$	1 :-2 :0
$7ν − 16 × 16 = 0 x$	7 :0 :4
$5νx + 2νy − 13 × 16 = 0$	5 :2 :0
$7νx − 2νy − 14 × 16 = 0$	7 :-2 :0
$11νx − 25 × 16 = 0$	11 :0 :4
$νx + 12νy − 13 × 16 = 0$	1 :12 :4

TAB. 3.13:

Résonances identiﬁées sur les cartes en fréquence oﬀ momentum à $δ ⁄= 0$ pour le deuxième réglage hexapolaire de l’ESRF.

3.3.3.3 Conclusion préliminaire

Comme annoncé précédemment, les résonances $3νx − 2νy = 80$ et $νx = 36$ ont une grande amplitude qu’il faudrait essayer de réduire pour améliorer l’ouverture dynamique pour $δ>0$ .

Pour $δ ⁄= 0$ , l’extension des cartes en fréquence est plus importante que pour l’énergie nominale. D’autres résonances vont alors dominer dans la dynamique aux diﬀérentes amplitudes.

L’acceptance dynamique diminue avec $δ$ , mais dans le pire des cas elle reste comparable avec l’acceptance physique.

La surcompensation de la chromaticité a l’inconvénient majeur de compliquer l’optimisation, puisque les points de fonctionnement dépendent fortement de l’énergie de la particule. Idéalement, il faudrait pouvoir optimiser la dynamique aux diﬀérentes énergies.

3.3.3.4 Durée de vie Touschek

La durée de vie Touschek est calculée de la même manière que pour le premier réglage hexapolaire. Les résultats sont rassemblés dans le tableau 3.14 (voir aussi les ﬁgures 3.44-a et b).


			Mode multipaquets		Mode faible nombre de paquets

$VRF$ (MV)	$εRF$ (%)	$σl$ (mm)	$Tltoinus$ (h)	$Ttous$ (h)	$Ttlionus$ (h)	$Ttous$ (h)

8	3.38	4.7	231	225	4.4	4.2
9	4.03	4.3	377	313	7.1	5.9
10	4.60	4.0	555	378	10.1	7.1
11	5.13	3.8	760	418	14.3	7.9
12	5.61	3.6	947	440	17.9	8.3

TAB. 3.14:

Modes multipaquets et faible nombre de paquets : durée de vie Touschek pour le second réglage hexapolaire de l’ESRF en calcul linéaire et nonlinéaire pour une tension RF comprise entre 8 MV et 12 MV. Pour chaque tension, l’acceptance RF ( $εRF$ ) et la longueur naturelle du paquet ( $σ l$ ) sont également données.

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FIG. 3.44:

Durée de vie Touschek pour le second réglage de l’ESRF en mode multipaquets (a) et faible nombre de paquets (b). Une saturation de la durée de vie est observée pour les calculs en mode nonlinéaire (cercles) par rapport au calcul linéaire (carrés) et donnent des résultats deux fois plus faibles à 12 MV.

En comparant les durées de vie Touschek obtenues pour les deux réglages hexapolaires de l’ESRF (Fig. 3.34 et Fig. 3.44), nous constatons que le second réglage est meilleur. Ce résultat se comprend bien si l’on se rappelle que la dynamique oﬀ momentum du premier réglage est fortement marquée par la résonance entière $νx − 36 = 0$ , si bien qu’il faut prendre en compte dans les calculs l’ouverture dynamique oﬀ momentum qui est alors le facteur limitatif. Ces résultats tendraient à corroborer les mesures expérimentales. Il faut toutefois reconnaître que les durées de vie mesurées sont bien plus faibles.

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