Utilisation de l’électrode à 45 degrés : point de fonctionnement nominal

5.2.2 Utilisation de l’électrode à 45 degrés : point de fonctionnement nominal

Pour chaque kick du perturbateur (aimant dipolaire rapide), on maintient la phase constante par rapport à la synchronisation de référence à des ﬁns de reproductibilité. Les signaux de l’électrode et du perturbateur sont enregistrés tour par tour.

5.2.2.1 Kick avec le perturbateur P4

Les kicks du perturbateur P4 ont des amplitudes réparties entre 4.48 kV (butée basse en tension du perturbateur) et 13.02 kV (début perte du faisceau) avec un pas d’environ 0.5 kV.
Le courant stocké dans le paquet est de 9.3 mA tout au long de l’expérience.
Le minimum de couplage n’a pas été réalisé (cf. conditions expérimentales Tab. 5.15).


Mode	Monopaquet	H1 (A)	54.35
$νx$	$4.7274$	H2 (A)	100.31
$νy$	$1.7005$	H3 (A)	198.58
$ξx$	$1.2$	H4 (A)	216.24
$ξ y$	$1.4$	Q1 (A)	221.50
$QT4$ (A)	$− 0.11$	Q2 (A)	400.08
$Δν$ (kHz)	$20$	Q3 (A)	379.78
Phase	$951$	Q4 (A)	216.24

TAB. 5.15:

Conditions expérimentales : point de fonctionnement nominal avec le perturbateur P4. Les valeurs de courant des quatre familles de quadripôles ( $Qi$ ) et d’hexapôles ( $Hi$ ) sont utilisées pour ajuster l’optique de Super-ACO.

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FIG. 5.36:

Signal sur le perturbateur P4 entre les tours 125 et 140 pour plusieurs tensions. L’échantillonneur s’est déclenché un tour plus tôt pour les deux premières amplitudes. Un kick a en réalité lieu sur 4 tours de la machine Super-ACO.

Signal du perturbateur P4

L’échantillonneur s’est déclenché un tour plus tôt (130-ème) pour les deux plus faibles amplitudes (cf. Fig. 5.36).
Le kick n’est pas sur un seul tour mais sur quatre (lié au principe d’injection à Super-ACO).
On observe un espacement régulier des amplitudes sur le perturbateur P4 : linéarité tension-amplitude.

Signal sur l’électrode

Les 131 premiers tours n’ont pas de signal de part de la réponse de l’électronique ; on a donc au plus 900 données consécutives exploitables.
Deux exemples typiques de signal collecté sur l’électrode à 45 degrés sont illustrés par les ﬁgures 5.37 et 5.38 : on notera que le signal est quasi-périodique avec une décohérence du faisceau presque inexistante (la variation des nombres d’ondes avec l’amplitude est faible cf. infra Fig. 5.39). Son amplitude est exprimée dans une unité arbitraire (u.a.).

FIG. 5.37: Signal (u.a.) en fonction du nombre de tours pour un kick à x=4.48 mm (faible amplitude) et son spectre de Fourier. La décohérence est faible et le signal peu bruité.

FIG. 5.38: Signal (u.a.) en fonction du nombre de tours pour un kick à $x=13.02$ kV (grande amplitude) et son spectre de Fourier. La décohérence est faible et le signal peu bruité.

Idéalement, en utilisant l’étalonnage réalisé avec des bumps statiques, on devrait pouvoir obtenir une correspondance entre la tension du perturbateur et le déplacement négatif de l’orbite fermée. En utilisant les données du tableau 5.16 et en extrapolant la formule empirique (Eq. 5.20), une amplitude de 69 sur l’électrode équivaudrait à un déplacement de l’orbite fermée de -25 mm pour une tension de 12.40 kV sur le perturbateur P4. Cette valeur est aberrante sachant que le septum qui constitue un obstacle physique pour le faisceau est situé à -19 mm.

Perturber le faisceau au moyen d’un bump statique ou avec un kick dipolaire correspondent donc à deux réponses très diﬀérentes de l’électrode.


		Bump statique	Kick avec P4

Pour	0 mm	144	100
Pour	-11 mm	85	-
Pour	4.48 kV	-	69
Pour	12.40 kV	-	9

TAB. 5.16:

Comparaisons des amplitudes du signal collecté sur l’électrode à 45 degrés pour un bump statique (mm) ou un kick (kV) avec le perturbateur P4.

Observations générales :
- Le signal est peu bruité (cf. spectre Fig. 5.37).
- La décohérence est presque nulle même pour un kick de $x = 13.2$ kV (cf. Fig. 5.38).
- Les deux nombres d’ondes sont parfaitement identiﬁables (cf. couplage).
La variation des nombres d’ondes avec l’amplitude horizontale est calculée en utilisant l’Analyse en Fréquence (Laskar, 1990) d’abord directement en analysant le signal de l’électrode à 45 degrés (Fig. 5.39), puis théoriquement à partir d’une maille de Super-ACO (Fig. 5.40). Seule la partie fractionnaire des fréquences est déterminée avec une précision ( $(1 )k Δν = N-$ ) où $N$ est le nombre de tours contenant du signal. Pour une transformée de Fourier rapide (FFT) traditionnelle $k$ vaut 1 alors que pour l’Analyse en Fréquence $k$ vaut 4.

En faisant l’hypothèse que le point de fonctionnement de départ est celui mesuré à l’oscilloscope (en salle de contrôle) : $(νx = 4.7274, νy = 1.7005 )$ , la variation théorique des nombres d’ondes est calculée en utilisant le code de calcul MAD version 8 [56].

FIG. 5.39:

Variation expérimentale (carrés) des nombres d’ondes $ν x$ (à gauche) et $ν y$ (à droite) avec l’amplitude horizontale. Dans chacun des cas, la variation du nombre d’ondes est quadratique avec l’amplitude.

FIG. 5.40:

Variation théorique des nombres d’ondes $νx$ (à gauche) et $νy$ (à droite) avec l’amplitude horizontale pour diﬀérents modèles de Super-ACO et comparaison à l’expérience (carrés) : modèle avec les chromaticités expérimentales (triangles), inﬂuence des décapôles (croix), modèle avec les courants mesurés des hexapôles (cercles). Quelque soit le modèle utilisé, le sens de variation de $ν x$ est opposée à celui mesuré.

Les diﬀérents modèles étudiés sont :
- une maille ajustée sur les chromaticités et nombres d’ondes expérimentaux. La relation liant la force des hexapôles (H) à celle des décapôles (LD) est¹⁹ : $LD = − 27 × H$
- une maille avec les valeurs expérimentales de courants des hexapôles : les nouvelles chromaticités, $(ξx = 2.45, ξy = − 0.45)$ , sont très diﬀérentes des chromaticités mesurées en particulier dans le plan horizontal (défaut de chromaticité naturelle non modélisé).
- une maille nominale sans lentille décapolaire.
- une maille avec les valeurs de courant mesuré dans les quadripôles : dans ce cas le point de fonctionnement devient $(νx = 4.7208, νy = 1.6998 )$ . L’écart peut paraître faible par rapport au cas précédent, cependant les 4 chiﬀres signiﬁcatifs ont toute leur importance du fait de la précision des mesures en salle de contrôle avec l’oscilloscope et de la précision de l’Analyse en Fréquence.
Plusieurs points doivent être observés :
- On peut ajuster les courbes en fréquences à l’aide d’une fonction quadratique, $ν = ν + A x2 0$ : c’est la première contribution au glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude (cf. Fig. 5.39)
  ${ −5 2 νx= (− 2.46 ± 0.09 )10−5 x2+ 4.7274 ± 0.00009 νy= (− 1.54 ± 0.03 )10 x + 1.7007 ± 0.00002$ (5.21)
  
  Ces résultats permettent de proposer pour la calibration du perturbateur P4, la realtion entre sa tension et l’amplitude imprimée au faisceau :
  $|----------------| -1-kV-⇐-⇒--1-mm--|$ (5.22)
  
  .
- Sur la courbe expérimentale de $νx$ , il semble y avoir vers $x = 11$ mm une perturbation de la dynamique du faisceau — ce n’est pas une erreur sur l’amplitude du kick cf. Fig. 5.36, ni a posteriori une résonance car cette irrégularité de la courbe en fréquence n’est pas observée avec le perturbateur P6 (cf. Fig. 5.45) —
- La durée de vie commence à chuter pour une tension de $13.02$ kV : le bord de l’ouverture dynamique est atteint.
- Dans tous les cas, la variation de $νx$ est opposée entre la théorie et l’expérience (cf. Fig. 5.40). Celle de $νy$ est décroissante avec l’amplitude mais avec une pente beaucoup plus importante dans le modèle de Super-ACO.
- Les variations des nombres d’ondes sont faibles (cf. échelle verticale) pour l’ensemble des courbes présentées.

La diﬀérence des glissements des nombres d’ondes entre le modèle et la mesure (Fig. 5.41) suit une loi quadratique de l’amplitude horizontale (ou encore linéaire en l’action). Nous avons essayé d’introduire dans le modèle de Super-ACO de nouveaux multipôles caractérisant les défauts des diﬀérents aimants (voir les mesures magnétiques in Barthès et al., 1990). Après de nombreux essais, il s’avère qu’une composante de type octupolaire²⁰ permet de retouver la loi de variation du nombre d’ondes horizontal $νx$ .

FIG. 5.41:

Diﬀérence (étoiles) des nombres d’ondes $ν x$ (a) et $ν y$ (b) mesurés et prédits par le modèle de Super-ACO. La loi ajustement (ligne) est dans les deux cas quadratique avec l’amplitude horizontale.

Une modiﬁcation du modèle de Super-ACO est proposée : l’introduction des défauts octupolaires créés par les familles de quadripôles.

La contribution octupolaire est aléatoire et faible (Barthès et al., 1990). P. Brunelle avait néanmoins proposé en 1999 comme relation entre les gradients ( $K$ ) des quadripôles et leur octupôle ( $LO$ ) lors d’une étude expérimentale de la variation du nombre d’ondes avec l’énergie de la machine :
$LO = 0.26 × K$ (5.23)
Diﬀérents modèles correspondant à diﬀérents jeux d’octupôles ont été testés (cf. Fig. 5.42).
L’ajustement à l’expérience suggère une contribution octupolaire environ deux fois plus grande :
$|---------------| LO--=--0.55-×-K---$ (5.24)
La correction n’a pratiquement pas d’eﬀet sur la variation du nombre d’ondes vertical avec l’amplitude horizontale. En eﬀet, le Hamiltonien d’un octupôle droit de force $LO$ peut s’écrire :
$octu LO 4 2 2 4 H = ---(x − 6x y + y ) 4$ (5.25)

Il apparaît immédiatement que pour $y$ petit, l’eﬀet est négligeable sur $νy$ .
La diﬀérence encore existante entre la théorie et la mesure pour le nombre d’ondes vertical $νy$ pourrait provenir d’un terme hexapolaire (cf. Fig. 5.41) non modélisé. Cependant l’introduction d’hexapôles tournés ne permet pas d’expliquer cette diﬀérence.

FIG. 5.42:

Variation des nombres d’ondes $νx$ (à gauche) et $νy$ (à droite) avec l’amplitude $x$ pour diﬀérents modèles de Super-ACO incluant une composante octupolaire. La force des octupôles est proportionnelle à celle des quadripôles : les facteurs de proportionnalité sont $0.26$ (losanges), $0.55$ (croix) et $0.8$ (triangles). Si l’octupôle permet de retrouver le bon comportement pour $νx$ , le désaccord reste grand pour $νy$ avec la mesure (carrés).

Notons qu’il est assez arbitraire de supposer que toute la composante octupolaire provient uniquement des quadripôles. En eﬀet, on peut aﬃrmer que :
- il est impossible avec les expériences réalisées, de pouvoir localiser les éléments magnétiques de l’anneau qui ont une composante octupolaire, mais,
- une contribution importante est créée par les quadripôles, car elle est corrélée au gradient des quadripôles et n’est presque pas modiﬁée lorsque les hexapôles sont éteints (cf. infra) ;
- les champs de fuite des quadripôles créent une composante pseudo-octupolaire non modélisée (cf. section 5.2.3.2).

5.2.2.2 Kick avec le perturbateur P6

L’expérience précédente est refaite en utilisant le perturbateur P6 et en faisant le minimum de couplage (cf. paramètres Tab. 5.17).


$νx$	$4.7274$	$H1$ (A)	54.35
$νy$	$1.7000$	$H2$ (A)	100.31
$ξx$	$1.2$	$H3$ (A)	198.58
$ξy$	$1.4$	$H4$ (A)	216.24
$QT4$ (A)	$− 0.54$	$QT 6$ (A)	$− 0.37$
$Δν$ (kHz)	$2$	Phase	800

TAB. 5.17:

Conditions expérimentales pour le modèle de Super-ACO. Valeurs des courants mesurés dans les alimentations des quadripôles et hexapôles pour calibrer le modèle de Super-ACO.

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FIG. 5.43:

Signal (u.a.) sur le perturbateur P6 de Super-ACO entre les tours 125 et 140. Le kick a lieu sur 3 tours consécutifs.

Les amplitudes des kicks vont de $5.64$ kV (butée basse) à $11.74$ kV (début perte du faisceau) par pas de 0.5 kV environ.
Le courant varie de 8.3 mA à 7.3 mA au cours des mesures.

Signal sur perturbateur P6

Les deux premiers kicks ont presque la même amplitude (Fig. 5.43).
L’échantillonneur se déclenche au 129-ème tour à chaque fois.
On observe un espacement régulier des amplitudes sur P6 : linéarité tension-amplitude.

En théorie, les perturbateurs P4 et P6 sont identiques cependant :

pour une même tension, le perturbateur P6 donne une amplitude plus grande au faisceau (cf. Fig. 5.44). La loi de conversion entre la tension de P4 et P6, à amplitude constante, est :

VP 6 ≈ VP 4 + 0.65 [kV ]

(5.26)

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FIG. 5.44:

Comparaison des amplitudes (u.a.) des signaux lus sur les perturbateurs P4 (cercles) et P6 (carrés) en fonction de la tension appliquée. La réponse est dans les deux cas linéaire. Pour que les deux courbes se superposent, il est nécessaire d’introduire un décalage de 0.65 kV (lié à l’étalonnage de la réponse des perturbateur de Super-ACO).

la limite de l’ouverture dynamique est atteinte avec une amplitude plus faible (11.74 kV) pour le perturbateur P6 que pour le perturbateur P4 (13.02 kV). Cet écart ne peut pas s’expliquer uniquement par le point précédent, il est également nécessaire que les paramètres de Twiss soient distincts dans les sections droites SD4 et SD6.

Signal sur l’électrode

Le nombre d’ondes vertical n’est plus observé, car le minimum de couplage est réalisé.
En comparant les deux courbes en fréquence $νx$ obtenues après perturbation du faisceau avec P4 et P6 et après correction des tensions, on observe que les courbes ne se superposent pas (Fig. 5.45).
Le nombre d’ondes horizontal doit suivre la même loi de variation qu’avec le perturbateur P4, car les expériences réalisées avec les deux perturbateurs sont identiques ; les deux courbes en fréquence sont superposables (Fig. 5.46) si l’on admet une nouvelle correction de la loi de conversion (Eq. 5.26) :
$VP 6 ≈ VP4 + 0.65 + 0.95 [kV ]$ (5.27)

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FIG. 5.45:

Comparaison de la variation du nombre d’ondes horizontal expérimental en fonction de l’amplitude : perturbateurs P6 (carrés) et P4 (cercles) de Super-ACO.

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FIG. 5.46:

Comparaison de la variation du nombre d’ondes horizontal expérimental en fonction de l’amplitude : perturbateurs P4 (cercles) et P6 (carrés) de Super-ACO avec nouvelle correction.

5.2.2.3 Utilisation de l’électrode à 45 degrés : familles H1 et H2 éteintes

On a éteint les familles d’hexapôles H1 et H2 aﬁn d’augmenter la variation des nombres d’ondes avec l’amplitude : l’ouverture dynamique est ainsi réduite et la décohérence du faisceau plus rapide.


$νx$	$4.7280$
$νy$	$1.6996$
$ξ x$	$1.8$
$ξy$	$1.3$
$QT 4$ (A)	$0.24$
$QT 6$ (A)	$− 0.06$
Phase	950

TAB. 5.18:

Conditions expérimentales utilisées pour ajuster le modèle de Super-ACO. Valeurs des courants des quadripôles tournés pour obtenir le minimum de couplage. Les chromaticités sont élevées dans les deux plans.

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FIG. 5.47:

Signal (u.a.) sur le perturbateur P4 de Super-ACO entre les tours 125 et 140. L’échantillonneur se déclenche un tour plus tôt pour les trois premières amplitudes. La réponse du perturbateur est une fonction linéaire de la tension appliquée à ses bornes.

Le minimum de couplage est réalisé (cf. paramètres Tab. 5.18).
On observe une ﬂuctuation inexpliquée de l’orbite contrairement au cas précédent avec les hexapôles allumés.

Signal sur perturbateur P4

L’échantillonneur se déclenche au 129-ème tour pour les 3 premiers kicks et au 130-ème pour les suivants.
On observe un espacement régulier des amplitudes sur P4 : linéarité tension-amplitude.
Le fait de prendre une même phase de 950, permet d’obtenir une parfaite reproductibilité des kicks générés par le perturbateur P4 (comparer les ﬁgures 5.36 et 5.47).

Signal sur l’électrode

Les forces des familles d’hexapôles H1 et H2 sont en pratique ajustées aﬁn de réduire l’inﬂuence des résonances d’ordre 3 alors que les familles H3 et H4 servent à ajuster les chromaticités horizontale et verticale.

La décohérence :

lorsque le faisceau est déplacé transversalement d’un angle $Δx ′$ , un phénomène de décohérence intervient du fait du léger déphasage existant entre chaque particule d’un paquet. Ce déphasage provient de la dispersion des nombres d’ondes avec l’amplitude, chaque particule ayant une énergie et une amplitude légèrement diﬀérentes des particules voisines ; si au premier ordre, on écrit :
$νx = νx − μ (q2 + p2) + ξΔE- 0 E$ (5.28)

avec $x q = σx$ et $(αxx+βxx′) p = ----σx---$ où $βx$ et $αx$ sont les paramètres de Twiss. Si l’on considère une distribution gaussienne d’écart type $σx$ des amplitudes $(x,x′)$ et si l’on néglige le couplage (x-y), l’amortissement, l’excitation quantique et les interactions entre particules, alors l’évolution du centroïde du faisceau suit la loi²¹ :
$( ( 2 )) < q > +j < p >= jZF--(N-)exp j 2πν0N + Z----jθ--- (1 − jθ)2 2 1 − jθ$ (5.29)

où $N$ est le numéro du tour après le kick d’amplitude $Δx′ Z = βx σx$ , $θ = 4πμN$ et $F (N )$ le facteur chromatique déﬁni par :
$( ( )2 ) F (N ) = exp − 2 ξσE- sin (πN νs)2 νs$ (5.30)

avec $νs$ la fréquence synchrotron et $σE$ la dispersion en énergie.
Plusieurs exemples de signal avec une décohérence du faisceau sont présentés sur la ﬁgure 5.48. A faible amplitude, la décohérence a lieu sur 500 tours, à grande amplitude sur 100 tours (observation de $νs = 0.0034$ , le facteur chromatique $F (N )$ est ( $-1 νs = 380$ )-tours périodique).

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FIG. 5.48:

Décohérence du faisceau de Super-ACO en fonction du nombre de tours pour diﬀérentes valeurs de kick du perturbateur P4. Le signal (u.a.) présente une décohérence rapide : 500 tours à faible amplitude (4.48 kV) et 100 tours à grande amplitude (11 kV). Au-delà, le signal est noyé dans le bruit.

On commence à perdre fortement le faisceau dès 10.58 kV, ce qui traduit une ouverture dynamique plus petite que précédemment en accord avec la théorie : l’ouverture dynamique théorique a été calculée en comparaison avec le cas nominal (Fig. 5.49). Les calculs d’ouverture dynamique ont été eﬀectués avec le code de calcul BETA en intégrant les trajectoires sur 1 000 tours consécutifs²².
Plusieurs constatations sont à faire :
- l’ouverture dynamique est réduite à $[− 27, 25] × [− 19, 19]$ mm pour la machine nominale (i.e. avec toutes les hexapôles allumés). Cette faible valeur s’explique principalement par les valeurs de chromaticités expérimentales non nulles et ici élevées dans les deux plans (cf. Tab. 5.18). L’introduction de multipôles (décapôles, dodécapôles, correcteurs) n’a que peu d’inﬂuence sur les dimensions.
- l’ouverture dynamique est encore réduite si les familles hexapolaires H1 et H2 sont éteintes : $[− 11, 11] × [− 15, 15]$ mm, soit une réduction d’un facteur deux horizontalement, ce qui est très proche de l’expérience.
Comme dans la première partie, la variation de avec l’amplitude horizontale est calculée pour diﬀérents modèles de Super-ACO et comparée avec l’expérience (cf. Fig. 5.50).
- On constate tout d’abord que la variation du nombre d’ondes $νx$ avec l’amplitude $x$ est inversée lorsque les familles hexapolaires H1 et H2 sont éteintes.
- Seule l’introduction d’une composante de type octupolaire forte permet d’une part retrouver la bonne loi de variation quadratique de $ν x$ (comparer les courbes avec et sans octupôles Fig. 5.39 et 5.50) et d’autre part d’expliquer l’inversion du sens de variation de la courbe en fréquence $νx(x)$ .
- Il est remarquable que la même composante octupolaire ( $LO = 0.55 × K$ )) suﬃsent pour retrouver la bonne loi de variation : les hexapôles contribuent donc peu ou prou à la composante octupolaire.
- La variation des nombres d’ondes $Δ νx$ en fonction de l’amplitude ( $x$ ) est très forte : $Δ νx = 1.38 × 10−3 mm −1$ contre $Δ νx = 5.8 × 10−4 mm −1$ (réglage nominal).

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FIG. 5.49:

Inﬂuence des familles d’hexapôles H1 et H2 sur les dimensions de l’ouverture dynamique de Super-ACO — hexapôles allumés : trait continu, éteints : trait pointillé —. Les dimensions réduites d’un facteur deux sont proches de celles mesurées en expérience dans le plan horizontal.

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FIG. 5.50:

Variation du nombre d’ondes horizontal $νx$ avec l’amplitude horizontale. Modèles de Super-ACO avec les chromaticités expérimentales (triangles), les courants hexapolaires mesurés (cercles). Seule l’introduction de composante octupolaire précédemment proposée (croix) permet de retrouver la bonne loi de variation (carrés).

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