A.2.2 Aimant dipolaire en coordonnées rectangulaires

Hamiltonien et description : Il est également possible d’exprimer l’application de transfert en géométrie cartésienne. Le Hamiltonien est alors le même que celui en géométrie curviligne (cf. Eq. A.4) avec h → 0   :

                      ∘ ------------------
ℋ (x,y, l,p ,p ,δ ) = −  (1 + δ)2 − p2 − p2+  bx
          x   y                     x    y    1
(A.11)

Hypothèse de calcul : La seule hypothèse est l’approximation hard-edge. Le Hamiltonien A.11 est complètement intégrable.

Intégration des équations : L’expression des solutions s’obtient à partie des celles de l’aimant secteur (Eq. A.6 à A.10) en prenant la limite h →  0  (Forest, 1994) :

(|               (∘  ------------f----------  ∘  ----------------------)
||| xf  =  xi + 1b1-    (1 + δ)2 − (px)2 − (piy)2 −   (1 + δ)2 − (pix)2 − (piy)2
|||
|||| pfx  =  pix − b1s[                                        ]
||{  f      i   piy-       -----pix-----          -----pfx------
  y   =  y +  b1  arcsin√ (1+δ)2−-(piy)2 − arcsin √ (1+δ)2−-(piy)2
||  f      i
||| py  =  py       [                                        ]
|||  f      i  (1+δ)       -----pix-----          -----pfx------
|||| l   =  l +  b1   arcsin√ (1+δ)2−(piy)2 − arcsin √(1+δ)2− (piy)2
|(  f
  δ   =  δ
(A.12)

avec s=L  et généralement b1 = h  .