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A.2.1 Aimant secteur exact

J’ai annoncé page §, que le dipôle est complètement intégrable. Le but de section est de le montrer. Les équations sont toujours exprimées en fonctions des variables canoniques (x,px,y,py,δ,l) .

Description et Hamiltonien : Pour la présente annexe, le dipôle est décrit en introduisant le cœfficient b1 qui dans la majorité des cas est égal à la courbure h (Forest et al., 1994). Cette expression est néanmoins utile pour déduire l’expression d’une rotation en géométrie curviligne (cf. infra). Le Hamiltonien retenu est celui établi page § avec le potentiel vecteur donné par la formule 1.51 :

∘ ------------------ x2 ℋ (x,y,l,px,py,δ) = − (1 + hx) (1 + δ)2 − p2x − p2y + b1x + b1h--- 2
(A.4)

Les équations du mouvement deviennent :

dx- ds  = px∘-----1-+-hx-------- 2 2 2 (1 + δ) − px − py (A.5a)
dy --- ds  = py 1 + hx ∘------------------- (1 + δ)2 − p2x − p2y (A.5b)
-dl ds  = −(1 + δ)∘------1 +-hx------- (1 + δ)2 − p2− p2 x y (A.5c)
dpx -ds- = h∘ ------------------ (1 + δ)2 − p2x − p2y − b1(1 + hx) (A.5d)
dpy- ds = 0 (A.5e)
d-δ ds = 0 (A.5f)

Hypothèse de calcul : La seule hypothèse est l’approximation hard-edge. Le Hamiltonien A.4 est complètement intégrable.

Intégration exacte : Les variables y et l sont cycliques, donc leurs moments conjugués respectifs sont constants :

|-f----i-| |-f----i----| -py-=-py-| et -δ--=-δ-=--δ-
(A.6)

L’intégration des autres variables se fait par étapes successives. On commence par l’équation différentielle de y(s) en utilisant les expressions (Eq. A.5d) puis (Eq. A.5b) :

dpx = h∘ --------------------- (1 + δ )2 − p2 − (pi)2 x yds − b1(1 + hx)ds
= ∘ --------------------- (1 + δ)2 − p2x − (piy)2( ) b1 hds − -idy py
yf = yi + piy --- b1 ∫ dpx ∘----------------------- (1 + δ)2 − p2x − (piy)2 + piy --- b1 ∫ hds
yf = yi + piy --- b1⌊ ⌋ pi pf ⌈arcsin ∘--------x--------− arcsin ∘--------x-------⌉ (1 + δ)2 − (piy)2 (1 + δ)2 − (piy)2 + piyh ---- b1s (A.7)
en utilisant la primitive usuelle :
∫ 1 t √--2----2dt = arcsin ---+ C˜, ˜C ∈ ℝ a − t |a|

On déduit alors la solution pour l(s) en comparant les équations A.5b et A.5c :

lf = li + (1 + δ) ------- b1⌊ ⌋ pi pf ⌈arcsin ∘--------x--------− arcsin ∘-------x--------⌉ (1 + δ)2 − (piy)2 (1 + δ)2 − (piy)2 + (1 + δ )h -------- b1s (A.8)
L’équation différentielle A.5d pour px(s) s’intégre en se servant des expressions A.5a et A.5c :
2 dpx ds2=− hpxdpx- ds∘----------1------------ (1 + δ)2 − p2 − (pi)2 x y − b1hdx- ds
=− h-----------px---------- ∘ ------2----2-----i-2- (1 + δ ) − px − (py)[ ∘ -------2----2----i-2 ] h (1 + δ) + p x − (py) − b1(1 + hx )
+ b1hpx 1 + hx ∘----------------------- (1 + δ )2 − p2x − (piy)2
soit après simplification :
d2px 2 ds= −h2p x2 ⇒ p x = a cos(hs) + b sin(hs)
où les constantes a et b sont déterminées en fonction des conditions initiales, soit :
pxf = p xi cos(hs) + (∘ ----------------------- ) (1 + δ )2 − (pi)2 − (pi)2 − b1(h−1 + xi) x y sin(hs) (A.9)
L’intégration de la dernière équation (x(s)) est alors immédiate :
dpf x ds= h∘ ----------------------- (1 + δ )2 − (pfx)2 − (piy)2 − b1(h−1 + xf)
xf = -1-- hb 1( ∘ ----------------------- ) 2 f 2 i 2 dpfx- h (1 + δ) − (px) − (py) − ds − b1 (A.10)

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