Hamiltonien relativiste

1.2.2 Hamiltonien relativiste

1.2.2.1 Moments canoniques

Par déﬁnition, les moments canoniques $p = (px, py,pz)$ s’obtiennent à partir du Lagrangien :

d´ef ∂ℒ-- pk = ∂q˙k avec (p1,q1) = (px,x), (p2,q2) = (py,y) et (p3,q3) = (pz,z)

(1.9)

soit en utilisant l’expression 1.8 et le facteur de Lorentz $γ = ∘--1v2- 1−c2$ :

p = γmv + eA

(1.10)

Le Hamiltonien autonome $ℋ$ est obtenu à partir de la fonction de Lagrange 1.8 (voir Landau et Lifchitz, Mécanique, chap. VII) :

ℋ(q,p)	∑ _k −ℒ(q,)
	= γmv² + eA ⋅ v −
	= γmc² + eϕ(q)	(1.11)

En introduisant l’impulsion mécanique $π = p − eA$ , on établit à partir des équations 1.10 et 1.11 la relation :

( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 v2 (ℋ − eϕ (q)) − π c = γ m c − γ m v c = γ m c 1 − c2- 2 4 = m c (1.12)

L’expression du Hamiltonien 1.11 devient en utilisant la relation 1.12 :

|-------------------------------------------| | ∘ --------------------- | |ℋ (q,p) = c (p − eA (q))2 + m2c2 + eϕ(q) | --------------------------------------------

(1.13)

Les équations du mouvement sont les équations dites de Hamilton ou canoniques :

dq ∂ℋ dp ∂ℋ --k-= ----, --k-= − ----, k = 1,...,3 dt ∂pk dt ∂qk

(1.14)

avec la relation supplémentaire si le Hamiltonien dépend explicitement du temps $t$ :

dℋ ∂ℋ ----= ---- dt ∂t

(1.15)

Les variables $(q,p)$ sont appelées variables canoniques. Pour une description du formalisme Hamiltonien, le lecteur pourra se reporter par exemple au chapitre VII du tome de Mécanique de Landau et Lifchitz.

1.2.2.2 Déﬁnition des coordonnées de l’accélérateur

Pour la suite de l’exposé, il est utile d’obtenir une expression du Hamiltonien pour les jeux de coordonnées cartésiennes et curvilignes. L’obtention générale du Hamiltonien va être présentée en coordonnées curvilignes dont les coordonnées cartésiennes ne sont qu’un cas particulier (la courbure et la torsion sont nulles, cf. infra).

Les coordonnées curvilignes, notées $(X, Y,s)$ , sont déﬁnies par rapport au repère de Serret-Frenet direct $(n,b, t)$ ; une particule de coordonnées transverses $X$ et $Y$ est repérée par son vecteur position $r$ par rapport à l’orbite de référence $r0$ (voir Fig. 1.3) :

r(X,Y,s)	= r₀(s) + Xn(s) + Y b(s)	(1.16)
	= xi + yj + zk

PICT PICT

FIG. 1.3:

Repère de Serret-Frenet $(n,b, t)$ . Déﬁnition des coordonnées curvilignes $(X,Y,s)$ utilisées pour écrire les équations du mouvement d’une particule autour de la trajectoire de référence.

Les vecteurs orthonormés $(n, b,t)$ sont respectivement les vecteurs tangent, normal et binormal déﬁnis par :

( ||| t d´e=f dr0(s) { d´ef ds----1----d2- n = − || d2r0(s)||ds2 r0(s) |||( d´ef ds2 b = t × n

(1.17)

où $h(s)$ et $τ(s)$ décrivent la courbure et la torsion locales de la trajectoire à la longitude $s$ :

( 2 { h(s) = ρ(1s) = ||ddr0s(2s)|| 1 ( d d2 d3 ) ( τ(s) = h2(s)det dsr0(s),ds2r0(s), ds3r0(s)

Je rappelle les formules de Frenet :

( n ) ( 0 − τ(s) h(s) ) ( n ) d--( ) ( ) ( ) ds b = τ(s) 0 0 b t − h(s) 0 0 t

(1.18)

On recherche une transformation canonique entre les anciennes variables notées $(q,p)=(x,y,z,px,py,pz)$ et les nouvelles variables $(𝒬, 𝒫 ) = (X, Y,s,𝒫X ,𝒫Y ,𝒫s)$ . Pour cela, on construit une fonction génératrice dépendant des anciens moments et des nouvelles positions, $F(p, 𝒬 )$ . Les changements de variables sont alors déﬁnis implicitement par :

q	−F(p,)	(1.19a)
	−F(p,)	(1.19b)

L’équation 1.19a s’intègre simplement en utilisant la relation 1.16.

F(p, 𝒬 ) = − p ⋅ r(𝒬 ) + Γ (𝒬 ).

(1.20)

Par convention la fonction $Γ (𝒬 )$ est choisie nulle. L’équation 1.19b déﬁnit les nouveaux moments recherchés :

( | d´ef |{ 𝒫X = p ⋅ n = PX 𝒫Y = p ⋅ b d=´efPY ||( d´ef 𝒫S = p ⋅ ((1 + hX )t + X τ n − Y τb) = (1 + hX )Ps + X τPX − Y τPY

avec $(PX,PY ,Ps)$ les projections usuelles de l’impulsion sur la base $(t,n, b)$ . On note également que les coordonnées du potentiel vecteur $A$ se transforment comme celles du moment $p$ (cf. équation 1.10).

Dans la suite, on fait l’hypothèse que la trajectoire de référence est plane, i.e. que la torsion $τ(s)$ est nulle². En remarquant que la base de Serret-Frenet est orthonormée, le nouveau Hamiltonien s’écrit en utilisant l’expression 1.13 :

ℋ	(X,Y,s,_X,_Y,_s) = ℋ(q(,), p(,))
	= c + eϕ()	(1.21)

L’expression 1.21 va être réécrite sous une forme plus standard pour la physique des accélérateurs au moyen de trois transformations canoniques (cf. Dragt et Forest, 1986).

1.2.2.3 Changement de variable indépendante

Dans un accélérateur, il est plus commode d’exprimer la trajectoire d’une particule en fonction de la coordonnée longitudinale prise comme variable indépendante à la place du temps $t$ ( $z$ en coordonnées rectangulaires ou $s$ en coordonnées curvilignes).

Comme nouveau Hamiltonien³, on choisit $ℋ˜(X, Y,t,𝒫X ,𝒫Y ,𝒫t;s) = − 𝒫s$ en notant $𝒫t = − ℋ$ :

(X, Y,t,_X,_Y,_t) =	− (1 + hX)
	− e_s	(1.22)

On vériﬁe a posteriori que $ℋ˜$ conjugue les couples de variables $(X, 𝒫 ) x$ , $(Y,𝒫 ) y$ et $(t,𝒫t)$ :

d_t − dℋ =	−∑ _k=1²−ds −d_s −dt
⇒−d_sd =	∑ _k=1²
	+ ⁻¹dt + ⁻¹d_t	(1.23)
par identiﬁcation en utilisant les équations 1.14, on obtient les nouvelles équations de Hamilton :

	pour k = 1, 2	(1.24)
et

		(1.25)

La variable $t$ est physiquement reliée à la notion de temps de vol et son moment canonique $𝒫 t$ est l’opposé de l’énergie totale de la particule. Pour la suite des calculs, on suppose que le potentiel électrique $ϕ$ est nul⁴.

En faisant l’hypothèse que le potentiel vecteur est nul le long de l’axe optique, i.e. $A (0, 0,s) = 0$ , on constate l’existence de la trajectoire particulière : $(X,Y, 𝒫 ,𝒫 ,𝒫 ) = (0,0,0,0,p ) x y s 0$ , que l’on appelle trajectoire de référence.

1.2.2.4 Changement d’échelle

La seconde transformation revient simplement à introduire un facteur d’échelle dans les variables :

(| 𝒫X-
|{ ¯px = p0
¯py = 𝒫Y-
||( p0𝒫
¯pt = − p0tc

(1.26)

Pour conserver la nature hamiltonienne des équations, le nouveau Hamiltonien est simplement $¯ℋ=˜ℋp 0$ , soit :

∘ -------2-2----------------------------- ¯ℋ(¯x, ¯y,¯t, ¯px, ¯py, ¯pt) = − (1 + h ¯x) ¯p2 − m-c − (¯px − e ¯Ax )2 − (p¯y − eA¯y )2 − e ¯As t p20

(1.27)

avec $𝒜k ¯Ak= p0-$ . Le long de la trajectoire de référence, on a alors :

{ ∘ -22---24- ¯pt d´e=f ¯p0t = − p0c+2m2-c-= 1β- v0 -d¯t ∂ℋ¯ 0 p0c1- 0 avec β0 = -- ds = ∂¯pt = − ¯pt = − β0 c

(1.28)

1.2.2.5 Expression ﬁnale du Hamiltonien à trois degrés de liberté

Usuellement, on préfère déﬁnir le mouvement d’une particule par rapport à une trajectoire de référence nulle, ce qui nous conduit à faire le dernier changement de variables dépendant de $s$ (d’après Eq. 1.28) :

( | ˆx = x¯ ( |||{ |{ ˆpx = ¯px ˆy = y¯ | ˆt = ¯t + s−s0 et | ˆpy = ¯py |||( β0 ( ˆpt = ¯pt − β1 0

(1.29)

Ce changement de variables dépend explicitement de $s$ . Si $F$ est une fonction génératrice, le nouveau Hamiltonien sera donné par : $∂F ˆℋ = ¯ℋ + -∂s$ . Nous construisons la fonction génératrice dépendant des anciennes positions et des nouveaux moments $F (¯t, ¯x, ¯y,pˆt, ˆpx, ˆpy;s) = F (¯q,ˆp; s)$ (Dragt et Forest, 1986) :

	= F(,; s) = _x + _y + ( _t + ) + G(,s)	(1.30)
	= F(,; s) = _x + _y + ( _t + ) + _t + K(s)	(1.31)

La fonction $K (s)$ est a priori une fonction quelconque. Pour permettre des comparaisons avec la littérature, elle est choisie telle que :

s-−-s0 1-- F (¯t, ¯x, ¯y, ˆpt, ˆpx, ˆpy;z) = ¯xpˆx + ¯ypˆy + (¯t + β )(ˆpt + β ) 0 0

(1.32)

On en déduit l’expression du nouveau Hamiltonien $ˆℋ$ :

∘ (--------)2-----------(---------)----(---------)-- ˆ 1-- --1-- ˆ 2 ˆ 2 ˆ -1- 1-- ℋ=−(1 + hˆx ) β0 + ˆpt − γ20β20 − ˆpx − eAx − ˆpy − eAy − eAs + β0 (β0 + ˆpt)

(1.33)

en remarquant l’identité : $2 2 mp2c-= γ12β2- 0 00$ .

1.2.2.6 Approximations

Dans le cas ultra-relativiste, le Hamiltonien 1.33 se simpliﬁe encore⁵ puisque $β0 → 1$ et $γ0 → +∞$ . Pour alléger l’écriture, les variables « perdent leur chapeau » (si aucune confusion n’est possible) et on pose $l = ˆt$ et $δ = pˆt$ :

∘ -------------------------------------- 2 ( ˆ )2 ( ˆ )2 ˆ ℋ = − (1 + hx ) (1 + δ) − px − eAx − py − e Ay − eAs + 1 + δ

(1.34)

Interprétons physiquement les nouvelles variables $l$ et $δ$ :

$E−-E0 δ= p0c$ représente l’écart à énergie nominale $E0$ normalisée par l’énergie de la particule nominale ultra-relativiste.
$t0(s) = s−s0 β0$ est le temps de passage en $s$ de la particule synchrone. On suppose que cette dernière se trouve en $s 0$ en $t = 0$ . Si $l > 0$ , $l$ représente l’avance de la particule par rapport à la particule synchrone.

Lorsqu’on ne s’intéresse pas au cas du solénoïde, le potentiel vecteur n’a qu’une seule composante non nulle $ˆ As (x, y)$ qui ne dépend que des coordonnées transverses :

|-----------------------------------∘---------------------------------------| |ℋ (x,y,l,px,py,δ;s) = − (1 + h(s)x) (1 + δ)2 − (px)2 − (py)2 − e ˆAs + δ + 1 ----------------------------------------------------------------------------|

(1.35)

Pour la suite du travail, on a le choix entre conserver cette expression avec la racine carrée et eﬀectuer un développement limité. Dans ce dernier cas, le Hamiltonien se réduit à :

ℋ	= −(1 + hx)(1 + δ)(1 −(p_x² + p_y²)) − eÂ_s + δ + 1
	= (1 + hx) − (1 + hx)(1 + δ) − eÂ_s + δ + 1

soit ﬁnalement :

|--------------2----2-------------------------| |ℋ = (1 + hx ) px-+-py-− hx(1 + δ) − e ˆA (x,y ) | 2(1 + δ) s | -----------------------------------------------

(1.36)

Cette dernière expression sera utilisée pour déduire la dynamique linéaire. Pour l’instant, il ne reste plus qu’à déterminer l’expression du potentiel vecteur.

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