Résonances

1.4.1 Résonances

La dynamique transverse est modélisée par un système à (2+1) degrés de liberté. La condition de résonance est obtenue pour une combinaison linéaire entre les nombres d’ondes transverses $νx$ , $νy$ et le nombre d’ondes longitudinale normalisé à $ν = 1$ , i.e. :

pν + qν + r = 0 avec (p,q,r) ∈ ℤ3 x y

(1.84)

Habituellement $|p | + |q|$ est appelé l’ordre de la résonance et correspond à l’ordre des polynômes du développement du potentiel vecteur. Cependant, il est souvent plus judicieux de déﬁnir l’ordre par l’entier $|p| + |q| + |r|$ à partir de l’équation :

3 p[νx] + q[νy] + r = 0 avec (p,q,r) ∈ ℤ

(1.85)

où $[]$ désigne la partie fractionnaire des nombres d’ondes. Cette déﬁnition, plus naturelle, correspond à celle adoptée en Mécanique Céleste. Dans la suite, l’ordre des résonances déﬁni avec cette convention sera noté par $p : q : r$ .

Pour une machine N-périodique, i.e. constituée de $N$ super-périodes, la condition de résonance est plus stricte : la dynamique de la machine totale est alors la même que pour une seule super-période avec pour fréquence longitudinale $ν′ = N$ .

pν + qν + r′ × N = 0 avec (p,q,r′) ∈ ℤ3 x y

(1.86)

Plus un accélérateur a une périodicité élevée, plus la condition de résonance est sévère (cf. Fig. 1.6). Dans la suite, nous parlerons de résonances permises, systématiques ou de structure et de résonances interdites, sous-entendu par la périodicité.

pict

FIG. 1.6:

Diagramme des résonances jusqu’à l’ordre 8 avec (a) et sans (b) 12-périodicité (exemple de l’ALS). La symétrie interne d’un accélérateur est utilisée pour augmenter la stabilité globale de la dynamique. Le point de fonctionnement d’une machine est choisi dans une région du diagramme où il y a peu de résonances.

Dans une théorie de perturbation simplement résonante du premier ordre, il peut être montré que, pour des résonances sommes ( $qp > 0$ ), la diﬀérence des émittances $εx − εy$ est conservée. Pour des résonances diﬀérences ( $qp < 0$ ), c’est la somme des émittances $εx + εy$ qui est conservée (voir par exemple : A General Treatment of Resonances in Accelerators, Guignard, 1978). Dans le premier cas, il peut y avoir ampliﬁcation mutuelle des amplitudes d’oscillation (proportionnelles à la racine carrée de l’émittance), ce qui conduira à la divergence des trajectoires des particules alors que pour des résonances diﬀérences, il ne peut y avoir que transfert d’amplitudes d’oscillation entre les deux plans. Durant ma thèse, j’ai parfois entendu dire que les résonances diﬀérences ne sont pas dangereuses pour la dynamique du faisceau. En conséquence, les largeurs des résonances diﬀérences ne sont pas toujours optimisées. Il est clair que ce résultat est celui d’une théorie de perturbation du premier ordre et qu’il n’est valide qu’au voisinage d’une résonance unique. Proche d’un nœud de résonances, les largeurs de résonances peuvent se recouvrir et la dynamique est toute autre.

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