Intégration des éléments parfaits

2.1.5 Intégration des éléments parfaits

Nous avons vu page §, l’expression la plus générale du Hamiltonien pour un accélérateur (cf. Eq. 1.35) exprimée en fonction des trois paires de variables canoniques $(x,px)$ , $(y,py)$ et $(l,δ)$ . Cette expression dépend explicitement de la longitude $s$ prise comme variable indépendante.

Dans toute la suite, sauf mention explicite, j’ai choisi de travailler sur la forme quadratique en les impulsions en réalisant un développement limité au premier ordre de la racine carrée. Pour mémoire, je rappelle son expression :

p2+ p2 ℋ(x, y,l,px,py,δ) = (1 + hx )-x----y − hx(1 + δ) − eAˆs 2(1 + δ)

(2.33)

La première approximation réalisée a consisté à développer la racine carrée de l’expression 1.35, terme nonlinéaire qui caractérise le fait que les particules sont relativistes. Ce développement permet d’obtenir une expression polynomiale dans les variables accélérateurs. Cette approximation est à la base de nombreux code de tracking. Cependant, il est intéressant de noter que le premier terme négligé est le terme octupolaire,

(p2 + p2)2 Δℋ = --x----y-- 4(1 + δ)3

(2.34)

c’est un terme purement cinématique⁶ qui doit néanmoins être pris en compte comme correction quand l’émittance est grande et lorsque la fonction de Twiss $γ$ est importante (voir Papaphilippou et Abell, 2000).

Dans ce cas, il suﬃra soit d’introduire des termes d’ordre supérieur du développement limité de la racine carrée, soit de garder la racine carrée. Ce qui a l’inconvénient majeur de compliquer les calculs ; de plus, un intégrateur du type $𝒮 𝒜 ℬ𝒜n ou 𝒮 ℬ𝒜 ℬn$ avec correcteur ne pourra plus être implémenté, car le correcteur ${{A, B },B }$ n’est en général plus intégrable.

La deuxième approximation fondamentale concerne l’expression générale du champ magnétique (cf. Eq. 1.46 page §) : on suppose que le champ magnétique est constant à l’intérieur d’un élément et nul à l’extérieur, si bien que le Hamiltonien devient autonome pour un élément donné. En réalité, la transition est plus douce. En anglais, on parle d’approximation hard edge, ce qui signiﬁe que les éléments ont un proﬁl magnétique rectangulaire. Cette approximation ne sera plus suﬃsante pour les machines de faible rayon de courbure. Pour prendre en compte les champs de fuite, une solution simple consiste à compléter la description des éléments ; nous en discuterons plus en détail au moment d’aborder les éléments dipolaires.

Les équations du mouvement sont données par les équations de Hamilton :

( ( |{ dxds- = ∂∂Hp- |{ dpx- = − ∂H- dy- ∂Hx ddpsy- ∂∂xH- | ds = ∂py | ds = − ∂y ( dl- = ∂H- ( dδds- = − ∂∂Hl- ds ∂δ

(2.35)

Etrangement, bien que certains éléments (dipôle, quadripôles) soient complètement intégrables à la suite des deux approximations précédentes, l’intégration est généralement réalisée en utilisant une solution approchée au moyen d’un intégrateur symplectique. Une des raisons est que cette démarche est nécessaire si l’on désire obtenir l’application de premier retour de l’anneau et utiliser des méthodes automatiques d’algèbre diﬀérentielle (e.g. le DA-Package appelé plus tard Truncated Power Series Algebra — TPSA — développé en FORTRAN77 par Berz en 1989, voir aussi son livre : Modern Map Methods in Particle Beam Physics, 1999 et plus récemment The Full Polymorphic Package qui est une extension écrite en FORTRAN90 par Forest [47]).

Au cours de ce travail, je n’étais pas intéressé — dans un premier temps — par le calcul de l’application de premier retour (analyse globale de l’anneau), c’est pourquoi je conserve la solution exacte si elle existe — sauf temps prohibitifs de calculs, instabilités numériques, rendant l’intégration symplectique plus eﬃcace — De plus, je reste convaincu qu’il est très souvent plus avantageux en termes de temps de calcul d’écrire un code de tracking construit sur le Hamiltonien local de chacun des éléments (au moins pour les machines à rayonnement synchrotron).

2.1.5.1 Section droite

Description et Hamiltonien : La section droite, drift en anglais, est l’élément le plus simple à modéliser dans un accélérateur, car c’est un élément sans champ magnétique ( $As = 0$ ). Elle est caractérisée par un seul paramètre : sa longueur notée $L$ . En coordonnées rectangulaires ( $h = 0$ ), son Hamiltonien se réduit à la forme (cf. Eq. 2.33) :

p2+ p2 ℋ (x,y,l,px,py,δ) = --x----y 2(1 + δ)

(2.36)

Les variables $(x,y,l)$ sont cycliques⁷, les équations du mouvement sont :

( dx px- ( dpx |{ ds = 1+ δ |{ ds- = 0 ddys = p1+yδ dpy- = 0 |( dl -p2x+p2y |( ddsδ ds = − 2(1+δ)2 ds = 0

(2.37)

Une seule hypothèse de calcul : La linéarité des équations est obtenue par le développement limité du terme cinématique (cf. supra) que j’appelle pour la suite approximation des petits angles.

Intégration des équations : Le système 2.37 est complètement intégrable de solution :

( f i pi ( ||{ x = x + 1x+δs |{ pfx = pix yf = yi + -piy-s pf = pi || 1(p+iδ)2+ (pi)2 |( yf y ( lf = li − -x2(1+-δ)y2--s δ = δ

(2.38)

où les exposants $i$ et $f$ désignent les coordonnées canoniques respectivement à l’entrée et à la sortie de la section droite de longueur $L = s$ .

Prise en compte des termes négligés : Si la racine carrée est conservée, les équations du mouvement sont nonlinéaires. Il est néanmoins encore aisé d’intégrer les équations du mouvement en coordonnées rectangulaires ou curvilignes (cf. annexe A.1 et annexe A.3 expression A.36). Il est ainsi possible de vériﬁer la validité des approximations réalisées.

2.1.5.2 Aimant de courbure parfait

Un dipôle simple est caractérisé par un rayon de courbure constant $ρc$ et une longueur $L$ ; en moyenne, il courbe la trajectoire d’une particule d’un angle $θ = L∕ρc$ . Son Hamiltonien s’exprime naturellement en coordonnées curvilignes en utilisant les équations 2.33 et 1.51 :

p2x + p2y x2 ℋ (x,y,l,px,py,δ) = (1 + hx) --------− hx (1 + δ) + h (x +---) 2(1 + δ ) 2ρc

(2.39)

Par la suite, je ne distinguerai plus le rayon de courbure $ρ c$ de l’élément et celui introduit par le système de coordonnées curvilignes ( $−1 ρ = h$ ). Le terme quadratique en $x$ de l’expression 2.39 traduit une focalisation horizontale purement géométrique du dipôle.

Pour intégrer le Hamiltonien 2.39, je vais me placer dans un cadre un peu plus général. En eﬀet, dans certaines sources de lumière, comme à l’ALS, il existe des dipôles dits combinés, car ils comprennent en plus du terme dipolaire, une composante quadripolaire.

A) Dipôle combiné

Description et Hamiltonien : Le Hamiltonien d’un dipôle combiné est déduit des équations 2.33, 1.51 et 1.53 :

ℋ(x,y,l,p_x,p_y,δ)	= + hx − hx(1 + δ) + h(x + h) + (x² − y²)
	= + hx − hδx + h² + (x² − y²)	(2.40)

où le coeﬃcient $b2$ caractérise le gradient quadripolaire. Dans la plupart des codes de tracking (e.g. BETA [93], DESPOT [42], TRACY [11]), on fait de plus l’approximation dite des grandes machines en négligeant le terme encadré dans l’équation ci-dessus⁸, de type hexapolaire, qui contribue fortement à la chromaticité des petites machines (Dragt, 1982 et Forest, 1998). Si bien qu’au ﬁnal, le Hamiltonien du dipôle combiné est simplement :

2 2 2 ℋ (x,y,l,p ,p ,δ) = -px +-py − hδx + h2 x--+ b2(x2 − y2) x y 2(1 + δ) 2 2

(2.41)

On en déduit les équations du mouvement :

( dx = -px- ( dpx 2 |{ ddsy 1+pδ |{ ds = hδ − (h + b2)x ds = 1y+δ dpdys = b2y |( dl = − p2x+p2y-− hx |( dδ = 0 ds 2(1+δ)2 ds

(2.42)

Hypothèses de calcul : les approximations (a) des grandes machines, (b) des petits angles et (c) hard edge pour le champ magnétique ont été supposées pour exprimer le Hamiltonien du dipôle combiné sous la forme 2.41.

Intégration exacte des équations : Les équations du mouvement 2.42 sont complètement intégrables (cf. équations de deux oscillateurs harmoniques découplés). La solution exacte est donnée en annexe A.2 (p. §) en termes de fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques.

Intégration approchée des équations : Il est également possible d’utiliser un schéma symplectique pour intégrer le Hamiltonien 2.41 que l’on décompose en deux parties séparément intégrables⁹ :

p2x + p2y 2x2 b2 2 2 ℋ = A + B avec A = 2(1-+-δ) et B = − h δx + h-2-+ 2-(x − y )

(2.43)

Comme annoncé dans la section précédente, ce découpage du Hamiltonien va nous permettre d’utiliser un intégrateur de classe $𝒮 𝒜 ℬ𝒜n$ ou de classe $𝒮ℬ 𝒜 ℬn$ . Quelque soit le type d’intégrateur choisi, il suﬃt de savoir évaluer les deux opérateurs $esLA$ et $esLB$ . En fait le calcul est presque immédiat, dans chacun des cas, il y a au plus un seul crochet de Poisson à calculer. On obtient les applications respectivement pour $A$ et $B$ :

( i ( ||{ xf = xi + p1x+δs |{ pfx = pix sLA f i piy- f i e :| y = y + 1+iδ2s i2 i | py = py |( lf = li − (px)+(py2)s − hxis − h px-s2 ( δf = δ 2(1+δ) 1+δ2

(2.44)

( ( |{ xf = xi |{ pfx = pix − ((b2 + h2)xi − hδ)s sLB f i f i i e : | y = y | py = p y + b2y s ( lf = li ( δf = δ

(2.45)

Nous avons également vu qu’il est possible d’améliorer l’intégrateur en introduisant un correcteur (cf. Eq. 2.31). Il suﬃt de savoir calculer et évaluer le double crochet de Poisson $C={{A,B },B }$ :

1 ( 2 2 2) {{A, B}, B} = 1 +-δ (α + kx ) + b2y

(2.46)

avec $α=− δh$ et $k = b2 + h2$ . L’application déﬁnie pour le correcteur est alors :

{ { xf = xi pf = pi − 2k(α+kxi)s esL {{A,B },B} : x x 2b21+ δ yf = yi pfy = piy − 1+2δyis

(2.47)

avec $3c s=− s 2$ conformément à l’équation 2.31.

Correction due aux coins de l’aimant :

pict

FIG. 2.2:

Schéma d’un aimant secteur (a) et d’un aimant à faces parallèles (b). Les angles des coins d’entrée et de sortie sont ici égaux : $θ θe = θs = 2$ .

Pour être rigoureux, l’expression du Hamiltonien du dipôle combiné 2.41 décrit un aimant secteur ou aimant à faces tournées (cf. la déﬁnition du bloc courbe page § et le schéma 2.2-a). Souvent, les aimants d’un accélérateur sont à faces parallèles (e.g. à l’ALS ou Super-ACO), il est donc nécessaire de corriger les eﬀets de bord introduits par les coins des aimants (cf. Fig. 2.2-b). Au premier ordre, ces eﬀets se modélisent par un champ quadripolaire focalisant horizontalement et défocalisant verticalement¹⁰. L’application entre l’entrée et la sortie d’un aimant à faces parallèles est simplement — au premier ordre — la composition des applications d’un aimant secteur, $ℳsecteur$ , et des coins d’entrée, $𝒯 e$ , et sortie, $𝒯 s$ , $xf = 𝒯 sℳsecteur𝒯 exi$ (Forest et al., 1994), soit pour un angle d’entrée ou de sortie de l’aimant $θu$ :

{ f i i 𝒯 (θ ) : px = px + hx tan θu avec u = e,s u u pfy = piy − hyitan θu

(2.48)

Notons que cet eﬀet sera prépondérant pour les petites machines, car il est proportionnel à la courbure $h$ .

Champs de fuite :

pict

FIG. 2.3:

Schéma du proﬁl magnétique longitudinal d’un aimant de longueur $L$ . En approximation hard-edge, le champ magnétique est constant dans l’élément et nul à l’extérieur. En réalité, le champ magnétique décroît jusqu’à une valeur nulle de part et d’autre sur une longueur $λ$ : on parle de champ de fuite.

Pour les machines à faible rayon de courbure comme Super-ACO, un eﬀet supplémentaire est encore à ajouter dans le modèle : les champs de fuite. Ce phénomène est simplement lié au fait que le champ magnétique décroît sur les bords de l’aimant et n’est pas tout à fait nul juste à l’extérieur du dipôle (l’approximation hard-edge doit être complétée). Au premier ordre, les champs de fuite induisent une composante quadripolaire verticale proportionnelle à la courbure $h$ de l’anneau. Le déphasage vertical¹¹ ( $ψu$ ) est donné par la formule (Brown, 1982, pp. 116–117) :

2 1 +-sin-θu ψu = − 𝒦hg cosθu avec u = e,s

(2.49)

avec $g$ la distance entre les deux pôles de l’aimant, $h$ la courbure, $θu$ l’angle d’entrée (e) ou de sortie (s) et $𝒦$ , l’intégrale :

∫ +∞ By (s)[B0 − By(s)] 𝒦 = ----------2-------ds −∞ gB 0

(2.50)

où $B(s) y$ est l’amplitude du champs de fuite sur le plan moyen à la longitude $s$ mesurée depuis l’entrée de l’aimant et $B0$ est la valeur asymptotique de $By (s)$ dans l’aimant (cf. Fig.2.3).

L’application symplectique $ℱ u$ du premier ordre incluant les coins et le champ de fuite de l’aimant :

{ pf = pi+ hxitan θ ℱ u : xf xi i u avec u = e,s py = py − hy tan(θu − ψu )

(2.51)

B) Dipôle simple

Pour un dipôle simple, il suﬃt de poser $b2 = 0$ dans les formules établies pour le dipôle combiné. En annexe A.2, les équations du mouvement sont intégrées pour diﬀérentes approximations et méthodes d’intégration : (a) sans approximations des grandes machines et des petits angles en géométrie curviligne et rectangulaire et (b) en prenant en compte le terme des petits machines.

2.1.5.3 Quadripôle droit

Description et Hamiltonien : Un quadripôle droit est un élément magnétique dont la vocation est de focaliser la particule qui le traverse ; il a une longueur $L$ et un gradient magnétique $b2=K$ ; son Hamiltonien s’exprime naturellement en géométrie cartésienne à partir des expressions 2.33 et 1.53 :

p2+ p2 K ℋ (x,y,l,px,py,δ) = --x----y + --(x2 − y2) 2(1 + δ) 2

(2.52)

Les équations du mouvement du quadripôle sont ( $l$ est cyclique) :

( dx px- ( dpx- |{ ds = 1+ δ |{ ds = − Kx ddys = p1+yδ dpy- = Ky |( dl -p2x+p2y |( ddsδ ds = − 2(1+δ)2 ds = 0

(2.53)

Hypothèses de calcul : L’expression du Hamiltonien 2.52 est établie dans (a) l’approximation des petits angles et (b) l’approximation hard-edge.

Intégration « exacte » : Les équations du mouvement 2.53 s’intègrent directement pour une longueur $s$ et pour $K > 0$ , on obtient :

(f i --1--- i ( f i i |{x = cos(ωs)x + ω(1+ δ) sin(ωs )px |{ px = − ω(1 + δ)sin(ωs )x + cos(ωs)px yf = cosh(ωs)yi + --1---sinh (ωs)piy pfy = ω (1 + δ) sinh (ωs )yi + cosh (ωs)piy |(f i ω(1+δ) |( f l = l + Δl δ = δ

(2.54)

avec $∘ ---- -K- ω= 1+δ$ , $s = L$ et

Δl =	ω (xⁱ)² −ω (yⁱ)²
	− (p_xⁱ)² − (p_yⁱ)²	(2.55)
	xⁱp_xⁱ −yⁱp_yⁱ

Cette application de transfert décrit un quadripôle focalisant dans le plan horizontal et défocalisant dans le plan vertical. Dans le cas $K < 0$ , il suﬃt de poser $K = − K$ et d’inverser les fonctions circulaires et hyperboliques dans les équations 2.54. Le quadripôle est alors focalisant dans le plan vertical.

Intégrateur symplectique : Les solutions s’écrivent comme celles du dipôle combiné (cf. Eq. 2.44 à 2.47) en posant une courbure nulle, i.e. $h = 0$ .

2.1.5.4 Hexapôle parfait droit

Description et Hamiltonien : Les hexapôles sont inévitablement introduits pour corriger la chromaticité. Le Hamiltonien d’un hexapôle de force $b3 = S$ et de longueur $L$ s’exprime en utilisant les équations 2.33 et 1.53 en coordonnées rectangulaires par :

p2 + p2 S ℋ (x,y, l,px,py, δ) = -x----y-+ --- (x3 − 3xy2 ) ◟2(1 +◝◜-δ)◞ ◟3----◝◜ -----◞ A(px,py,δ) B(x,y)

(2.56)

Les équations du mouvement sont ( $l$ est cyclique) :

( ( |{ ddxs = 1p+xδ |{ dpx = − S (x2 − y2) dy -py ddpsy | ds = 1+δ2 2 | ds = 2Sxy ( ddls = − p2x(1++pδy)2 ( ddδs = 0

(2.57)

Hypothèses de calcul : L’expression du Hamiltonien 2.56 est établie dans (a) l’approximation des grandes machines, (b) l’approximation hard-edge. Le schéma d’intégration que nous allons présenter pour l’hexapôle peut simplement se généraliser pour modéliser un multipôle droit ou tourné quelconque. Par exemple, un $2n$ -pôles droit de force $bn$ est modélisable par un Hamiltonien de la forme :

p2 + p2 bn ℋ (x,y, l,px,py, δ) = -x----y-+ --Re ((x + jy)n) 2(1 + δ) n

(2.58)

Intégration approchée des équations : La partie $A (px,py,δ)$ contient le Hamiltonien d’une section droite dont la solution a déjà été calculée (cf. Eq. 2.38). Il ne reste plus qu’à intégrer la partie $B(x, y)$ contenant le potentiel hexapolaire, on obtient l’application :

( f i ( f i 2 2 |{ x = x |{ px = px − S(x − y ) s esLBxi : yf = yi pf = pi + 2Sxy s |( f i |( yf y l = l δ = δ

(2.59)

avec $s=L$ . Usuellement, l’hexapôle est modélisé par une lentille mince de longueur inﬁnitésimale, e.g. $−6 L=10$ m. Dans ce cas, il suﬃra de prendre un intégrateur symplectique d’ordre 2. Si l’hexapôle est modélisé par une lentille épaisse, un intégrateur d’ordre 4 est utilisé comme pour les éléments magnétiques précédents.

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