A.3 Déplacements et rotations d’un élément

Un élément magnétique peut dévié de son emplacement théorique en position (Δx,  Δy, Δs )  et en moments (Δpx, Δpy,Δps )  . En suivant l’approche développée par Forest et Hirata (1992), ces défauts peuvent se modéliser de manière extrêmement simple.


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FIG. A.1: Schéma illustrant la rotation d’un angle θ  d’un élément rectiligne — inspiré de Forest, 1998 —


Par exemple, le schéma A.1 illustre la rotation d’un angle θ  d’un élément dans le plan x-z. L’application de transfert de l’élément tourné, notée ℳRy   , est obtenue comme la composition de trois applications de base1 (Forest, 1998, chapitre 10) :

ℳRy   = 𝒴 (θ)ℳ 𝒴 (− θ)
(A.34)

ℳ est l’application de transfert de l’élément et 𝒴 (θ)  l’application décrivant une rotation d’axe y  et d’angle θ  .

L’application 𝒴 (θ)  peut être considérée comme une rotation de générateur xpz  , soit (op. cit.) :

𝒴 (θ) = exp(θLxpz)
(A.35)

avec   ∘ ------------------
p=   (1 + δ)2 − p2−  p2
z               x    y  et L  la dérivée de Lie.

L’évaluation de l’opérateur A.35 est obtenue en posant b1 = 0  dans le cas du dipôle exact en géométrie curviligne (Eq. A.6 à A.10), dit différemment elle correspond à l’application de transfert d’une section droite exprimée en géométrie curviligne. Cette application a été introduite la première fois par Dragt (1982) :

(   f        ---(--xi----)       f    i
||| x    =     cosθ 1− pixtanθ ,     px = px cosθ + pz sinθ
|||{                i i  pz
  yf   = yi + --p(yx-tianθ-)-,    pfy = piy
|             pz 1− pxtpanzθ
||||  f      i   -(1(+δ)xitanθ)-      f
|( l    = l +  pz 1− pixtanθ ,     δ  = δ
                    pz
(A.36)

avec   ∘ -----------------------
p=   (1 + δ)2 − (pf)2 − (pi)2
z                x      y   . On remarquera que les applications A.36 et A.14 sont identiques.

Une rotation d’axe x  serait modélisée par l’opérateur 𝒳 (θ) = exp(θLypz)  . L’application résultante est la même que celle obtenue pour 𝒴 (θ )  en inversant les rôles de x  et y  , et de px  et p
y dans les formules A.36. Enfin, une rotation d’axe z  a pour générateur xp  −  yp
   y     x  , donc 𝒵(θ)=exp(θLxpy− ypx)  .

De manière similaire pour un défaut d’alignement horizontal d  , l’application de transfert ℳTy d’un élément sera modélisée par la composition de trois applications comme (Forest, 1998, chapitre 10) :

ℳTy  = 𝒯x (d)ℳ 𝒯x (− d)
(A.37)

avec 𝒯x(dx)  l’opérateur de translation dont le générateur est px   :

𝒯x(d) = exp(dLpx ),
(A.38)

et ℳ est l’application de transfert de l’élément parfait.

Les translations verticale et longitudinale ont pour générateurs respectivement p
  y  et p
 z  , soit :

𝒯y(d) = exp(dLpy), (A.39)
𝒯z(d) = exp(dLpz), (A.40)