Déplacements et rotations d’un élément

A.3 Déplacements et rotations d’un élément

Un élément magnétique peut dévié de son emplacement théorique en position $(Δx, Δy, Δs )$ et en moments $(Δpx, Δpy,Δps )$ . En suivant l’approche développée par Forest et Hirata (1992), ces défauts peuvent se modéliser de manière extrêmement simple.

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FIG. A.1:

Schéma illustrant la rotation d’un angle $θ$ d’un élément rectiligne — inspiré de Forest, 1998 —

Par exemple, le schéma A.1 illustre la rotation d’un angle $θ$ d’un élément dans le plan x-z. L’application de transfert de l’élément tourné, notée $ℳRy$ , est obtenue comme la composition de trois applications de base¹ (Forest, 1998, chapitre 10) :

ℳRy = 𝒴 (θ)ℳ 𝒴 (− θ)

(A.34)

où $ℳ$ est l’application de transfert de l’élément et $𝒴 (θ)$ l’application décrivant une rotation d’axe $y$ et d’angle $θ$ .

L’application $𝒴 (θ)$ peut être considérée comme une rotation de générateur $xpz$ , soit (op. cit.) :

𝒴 (θ) = exp(θLxpz)

(A.35)

avec $∘ ------------------ p= (1 + δ)2 − p2− p2 z x y$ et $L$ la dérivée de Lie.

L’évaluation de l’opérateur A.35 est obtenue en posant $b1 = 0$ dans le cas du dipôle exact en géométrie curviligne (Eq. A.6 à A.10), dit diﬀéremment elle correspond à l’application de transfert d’une section droite exprimée en géométrie curviligne. Cette application a été introduite la première fois par Dragt (1982) :

( f ---(--xi----) f i ||| x = cosθ 1− pixtanθ , px = px cosθ + pz sinθ |||{ i i pz yf = yi + --p(yx-tianθ-)-, pfy = piy | pz 1− pxtpanzθ |||| f i -(1(+δ)xitanθ)- f |( l = l + pz 1− pixtanθ , δ = δ pz

(A.36)

avec $∘ ----------------------- p= (1 + δ)2 − (pf)2 − (pi)2 z x y$ . On remarquera que les applications A.36 et A.14 sont identiques.

Une rotation d’axe $x$ serait modélisée par l’opérateur $𝒳 (θ) = exp(θLypz)$ . L’application résultante est la même que celle obtenue pour $𝒴 (θ )$ en inversant les rôles de $x$ et $y$ , et de $px$ et $p y$ dans les formules A.36. Enﬁn, une rotation d’axe $z$ a pour générateur $xp − yp y x$ , donc $𝒵(θ)=exp(θLxpy− ypx)$ .

De manière similaire pour un défaut d’alignement horizontal $d$ , l’application de transfert $ℳTy$ d’un élément sera modélisée par la composition de trois applications comme (Forest, 1998, chapitre 10) :