Intégration exacte d’une section droite

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A.1 Intégration exacte d’une section droite

La section droite de longueur $L$ peut être intégrée sans aucune approximation en coordonnées rectangulaires ou curvilignes. Ces résultats permettront de pouvoir de vériﬁer la validité des approximations réalisées, i.e. le développement Taylor usuel de la racine carrée.

Hamiltonien : Son expression est rappelée en coordonnées rectangulaires (cf. Eq. 1.35 p. § avec $ˆA=0 s$ et $h = 0$ ) :

∘ -------2----2----2 ℋ (x,y,l,px,py,δ) = − (1 + δ) − px − py

(A.1)

avec pour équations du mouvement :

( | dx = √----px-----, dpx = 0 ||{ ds (1+δ)2− p2x− p2y ds dy = √----py-----, dpy = 0 || ds (1+δ)2− p2x− p2y ds |( ddls = − √---1+2δ2--2, ddδs = 0 (1+δ)− px− py

(A.2)

Intégration des équations : Les variables $(x,y,l)$ sont encore cycliques, et l’on obtient :

( f i pix f i ||| x = x + √-(1+δ)2−-p2x−p2ys, px = px { f i ------piy----- f i y = y + √ (1+δ)2−p2x−p2ys, py = py |||( f i -----1+δ----- f l = l− √ (1+ δ)2−p2x−p2ys, δ = δ

(A.3)

avec $s=L$ la longueur de la section droite.

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