Décohérence due à la chromaticité

4.3.1 Décohérence due à la chromaticité

4.3.1.1 Déphase chromatique induit

Considérons une particule animée d’un mouvement bétatron (cf. chap. 1, Eq. 1.60). La variation du nombre d’ondes horizontal dépend de l’énergie de la particule à travers la chromaticité :

νx = ν0x + ξxδ + 𝒪(δ2)

(4.2)

où $ξ x$ est la fonction chromaticité et $δ = dp p$ l’écart à l’énergie nominale⁴.

Si l’on appelle $(δ,Φ )$ ses coordonnées canoniques⁵ dans l’espace des phases longitudinal, alors dans l’approximation linéaire, la dynamique longitudinale est gouvernée par le Hamiltonien (voir par exemple Lee, 1998) :

H	= w₀η_cδ² −Φ²
	= w₀η_cδ² + Φ²	(4.3)

avec $∘ ˜hV-e|η-cosΦ-| ωs= 2π νs = ω0 ---2πcβ2E-s-$ la fréquence synchrotron, $ω0$ la fréquence de révolution, $Φs$ la phase synchrone, $V$ la tension radiofréquence eﬀective, $E$ l’énergie de la particule, $η=α− -1 ≈ α cc γ2 c$ , $˜h$ le nombre d’harmoniques et $t$ la variable indépendante.

La trajectoire de phase est une ellipse d’équation dont nous choisissons d’écrire le paramétrage sous la forme :

{ ˆ δ = σδσδˆ cos(2 πνst + Φˆ) δˆδ ˆ Φ = σ Φσˆδ sin(2π νst + Φ )

(4.4)

avec $σδ$ et $σΦ$ les dimensions d’équilibre des variables $δ$ et $Φ$ et $2 π σδσΦ = π σˆδ$ , l’aire de l’ellipse de phase. Le glissement de la fréquence bétatron mesuré au n-ième tour s’écrit (Eq. 4.2 et 4.4) :

ˆ ˆ σδˆ ˆ Δνx (δ, Φ,n ) = ξ σ δ cos(2 πνsn + Φ ) ˆδ

(4.5)

et le déphasage induit sur $n$ tours pour la particule considérée est par déﬁnition :

Δφ_x( ,,n)	= 2π ∫ ₀ⁿΔν_x( ,,k) dk
soit en utilisant l’expression 4.5 :

Δφ_x( ,,n)	= ξ ν_s⁻¹(sin(2πν_sn + ) − sin())
	= cos(πν_sn + )
	= cos(πν_sn + ) avec =

Le nouveau mouvement bétatron horizontal de la particule d’amplitude initiale $x0$ obéit à la loi :

ˆ ˆ x (n ) = x0cos(2π ν0xn + φx + Δ φx(δ,Φ, n))

(4.6)

Le mouvement du centroïde d’un paquet de particules distribuées en amplitude et phase selon une densité de probabilités $ρˆ(δˆ, ˆΦ)$ s’exprime alors comme⁶ :

∫∫ < x(n ) >= x0 ˆρ(ˆδ, ˆΦ )cos(2πν0xn + φx + Δφx (ˆδ, ˆΦ,n ))dˆδ dˆΦ

(4.7)

4.3.1.2 Densité de probabilité longitudinale

Si les lois de distribution en amplitudes $ρδ$ et en phases $ρΦ$ des particules sont des gaussiennes de moyennes nulles et d’écart-types respectifs $σ δ$ et $σ Φ$ , alors la fonction de densité de probabilité conjointe est :

ρ(δ, Φ)	= ρ_δ(δ)ρ_Φ(Φ)
	= e⁻e⁻
	= e⁻⁻	(4.8)

La fonction densité de probabilité $ˆρ$ dans les nouvelles variables amplitude-phase $(ˆδ, ˆΦ )$ se déduit immédiatement (Eq. 4.4 et 4.8) :

ˆ -ˆδ2 ˆρ(ˆδ, ˆΦ ) = ρ(δ,Φ)|J| =--δ--e−2σ2ˆδ 2πσ2ˆ δ

(4.9)

où $J$ est le jacobien de la transformation continue de coordonnées 4.4 : $(δ,Φ ) → (ˆδ,Φˆ)$ .

4.3.1.3 Expression ﬁnale

Le mouvement du centroïde (Eq. 4.7) devient en utilisant l’équation 4.9 :

< x(n) >	= x₀ ( ,){cos(2πν_xn + φ_x) cos(Δφ_x( ,,n))
	− sin(2πν_xn + φ_x) sin(Δφ_x( ,,n))}dd	(4.10)
la sommation sur les sinus s’annule, car la fonction intégrée est impaire, d’où :

< x(n) >	= x₀ cos(2πν_xn + φ_x) ∫ ₀^+∞ d	(4.11)
en utilisant la fonction de Bessel J₀ (formule 9.1.18 in Abramowitz et Stegun, 1972) :

J₀ (z)	= ∫ ₀^π cos(z cos(θ)) dθ	(4.12)
< x(n) >	= x₀ cos(2πν_xn + φ_x) ∫ ₀^+∞e^−²J₀ d	(4.13)
et ﬁnalement avec la formule 11.4.29 (in Abramowitz et Stegun, 1972) :

	∫ ₀^+∞e^−μ²t²t^η+1J_η(λt) dt = e⁻	(4.14)

− ˇα2 −1 < x(n) >= x0e 2 cos(2π νxn + φx) avec ˇα = 2ξνs σˆδ sin(πνsn )

(4.15)

Le centroïde du faisceau eﬀectue des oscillations bétatrons modulées par le facteur chromatique $( ) Fδ=exp − 2 ξ2ν−s2σ2ˆδ sin2(πνsn )$ . Ce dernier est une fonction $2νπs$ -périodique dont les extrema sont $1$ et $2 −2 2 exp (− 2ξ νs σˆδ)$ . Au premier ordre, la fréquence d’oscillation du centroïde n’est pas modiﬁée, car la distribution des phases bétatrons est symétrique par rapport à la phase synchrone.

[next] [front] [up]