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A.2.6 Dipôle avec terme petite machine

Description et Hamiltonien : Pour les machines à faible rayon de courbure comme Super-ACO, le terme hexapolaire 2 2 hx2px(+1p+yδ) dit des petites machines ne peut plus être négligé. En particulier, il doit être pris en compte pour les calculs de chromaticité. Le Hamiltonien d’un dipôle simple est obtenu à partir des équations 1.36 et 1.51 :

p2+ p2 2 ℋ (x,y,l,px,py,δ) = (1 + hx)--x----y − hδx + h2 x-- -------2-(1-+-δ) ◟----◝◜--2◞ ◟ A(x◝,p◜,p ,δ) ◞ B(x) x y

Je vais maintenant présenter un schéma d’intégration symplectique avec correcteur.

Hypothèses de calcul : (a) l’approximation des petits angles et (b) hard-edge sont réalisées pour établir cet Hamiltonien.

A.2.6.1 Intégration de A

Les équations du mouvement se réduisent à (y et δ sont cycliques) :

dx- ds = (1 + hx)--px- 1 + δ dpx- ds = −h 2 2 p-x +-py 2(1 + δ) + hδ (A.24a)
dy --- ds = (1 + hx) p ---y- 1 + δ dp ---y ds = 0 (A.24b)
dl --- ds = −(1 + hx) p2x + p2y --------2 2(1 + δ) − hx dδ --- ds = 0 (A.24c)

On a immédiatement |--------| |pf = pi | --y----y- , puis pour p x (Eq. A.24a) :

dpx- ds = −h 2 2 px-+-a-- 2(1 + δ) avec a2 = (p yi)2 − 2(1 + δ)δ > 0
∫ dp -2--x-2 px + a = ∫ − h -------- 2(1 + δ)ds
en utilisant la primitive usuelle :
∫ dt -2----2 t + a = 1 -- a arctan t -- a + C˜, ˜C ∈ ℝ
on a alors :
arctan pfx- a = arctan pix- a −--ah---- 2(1 + δ)s
en utilisant :
tan(a + b) = tan-a-+-tan-b- 1 − tan a tanb,
on obtient :
pxf = a[pix − atan θ] -----i------ a + pxtan θ (A.25)
avec θ=--ah- s 2(1+δ) et a2 = (piy)2 − 2(1 + δ)δ > 0 .

L’équation A.24a pour x peut être maintenant intégrée :

∫ dx 1-+-hx- = ∫ px 1-+-δds
1- h ln |1 + hx| = --a--- A + δ∫ tan(C − θ)ds avec tan C = i px- a
ln |1 + hx| = 2 ln | cos(C − θ)| + ˜ C, ˜ C ∈ ℝ
Après passage à l’exponentielle, en développant le cosinus et en utilisant les conditions initiales, on obtient :
(1 + hxf) = (1 + hxi)( ) pix cosθ + ---sinθ a2 (A.26)
La dernière équation s’intègre alors immédiatement :
|-------------------------------------------------------------------| | ( ( i)2 ) [ ( i )] | yf = yi + 1 + px- (h−1 + xi) θ − sin θcos θ − 2arctan px- | | a a | ---------------------------------------------------------------------
(A.27)

Dans le cas a2 < 0 , les équations A.25 à A.27 deviennent :

|1 + hxf | = { |1 + hxi|--C+---(u++1-)2- si p ∈] − |a|,|a|[ (1+C+− )2 −u+ 2 x |1 + hxi|(1−CC−)2 (u-u−−1) si px ⁄∈] − |a|,|a|[ (A.28)
px f = { + a u1+u−+1- si px ∈ ] − |a|,|a|[ a 1+u-−- si p ⁄∈ ] − |a|,|a |[ u−1− x (A.29)
yf = ( [ ] { yi + piy|1 + hxi|--C++-2 u+ − C+ − 1+ + -1+-+ 2 ln |u++-| si px ∈] − |a|,|a|[ ahi (1+C− ) [ u C C− ] ( yi + payh|1 + hxi|(1−CC−)2 u− − C− − 1u−-+ C1−-− 2 ln|uC−-| si px ⁄∈ ] − |a|,|a|[ (A.30)
avec i C±= ± pax−+pai x , a2 = − ((piy)2 − 2(1 + δ)δ) , θ = 2(a1h+δ)s et u ± = C ±e2θs .

A.2.6.2 Intégration de B

Il n’y a qu’une seule équation à intégrer, car toutes les autres variables canoniques sont des constantes du mouvement :

dp --x-= − b1x2 ⇒ pfx = pix − hx2s ds
(A.31)

A.2.6.3 Calcul du correcteur

Le calcul du correcteur est relativement aisé, il s’exprime par :

{{A, B },B } = h41-+-hx-x2 1 + δ
(A.32)

On obtient alors l’application recherchée :

{ { i sL{{A,B},B} xf = xi pfx = pix − h42+31+hxδ-xis e : yf = yi pf = pi y y
(A.33)

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