3 Analyse en Fréquence et Sources de Lumière

Chapitre 3
Analyse en Fréquence et Sources de Lumière

Introduction

Les machines de rayonnement synchrotron de troisième génération sont construites sur des optiques à forte focalisation aﬁn d’atteindre de performances toujours plus extrêmes : les petites émittances créées permettent d’obtenir les hautes brillances recherchées. Cependant, de telles contraintes impliquent l’utilisation de champs magnétiques de forte intensité qui eux-mêmes vont exciter de nombreuses résonances et risquent ainsi de détériorer la dynamique globale du faisceau et de conduire à une faible ouverture dynamique et une faible acceptance en énergie. Il en résulte une injection lente et une faible durée de vie. Ces eﬀets indésirables doivent être minimisés tout en concervant une haute brillance. Une des tâches principales du physicien des accélérateurs se résume d’abord à déterminer la meilleure optique possible de la machine, ensuite à déﬁnir une modélisation aussi proche que possible de la réalité et enﬁn, à développer des méthodes susceptibles d’améliorer la stabilité de la dynamique du faisceau.

L’optique des sources de lumière de troisième génération est construite généralement sur une maille dite Chasman-Green ou double bend achromat¹ (Super-ACO, SOLEIL, ESRF) ou une maille triple bend achromat² (ALS). Les faibles émittances y sont créées en minimisant les fonctions bétatrons dans les dipôles, ce qui se traduit par l’utilisation de forts champs dans les quadripôles adjacents. Nous avons vu (chap. 1, p. § sqq.) que ces derniers créent alors une grande chromaticité naturelle dans les deux plans qui est compensée par l’introduction de lentilles hexapolaires : deux familles, dites chromatiques, suﬃsent. Cependant très souvent, d’autres familles d’hexapôles sont également introduites dans la maille pour minimiser les largeurs des résonances. La principale diﬃculté est de déterminer l’emplacement optimum de ces hexapôles autour de l’anneau ainsi que leur force. Seuls des choix judicieux permettent de réduire les nonlinéarités.

La dynamique des particules individuelles est une des causes principales de la limitation des performances des sources de lumière. Si les orbites sont instables aux grandes amplitudes, alors les électrons diﬀusés à ces grandes amplitudes lors de collisions avec les atomes du gaz résiduel ou avec d’autres électrons (eﬀet Touschek) vont être perdus par le faisceau. Il en sera de même pour les particules injectées à grande amplitude (optimisation de l’injection).

A la connaissance de l’auteur, seule l’ouverture dynamique des particules d’énergie nominale est optimisée³ pour réduire l’inﬂuence des phénomènes nonlinéaires ; ces derniers peuvent conduire à la divergence rapide des trajectoires des particules et à une chute drastique des performances globales de la machine. Les ouvertures dynamiques des particules oﬀ momentum ne sont que rarement optimisées pour les sources de lumière. Ce point peut conduire à des situations paradoxales : par exemple, une très grande ouverture dynamique à $δ = 0$ et des ouvertures dynamiques à $δ ⁄= 0$ presque nulles conduisent une durée de vie du faisceau très faible (cf. dynamique longitudinale, limitation par l’acceptance en énergie).

Cependant à l’heure actuelle, il n’existe pas de méthode analytique systématique pour arriver à ces ﬁns (même pour l’optimisation on momentum, i.e. pour $δ = 0$ ), la diﬃculté provenant de la détermination des amplitudes des résonances. Généralement, le schéma retenu consiste à utiliser des familles d’hexapôles pour minimiser l’inﬂuence des résonances d’ordre trois, considérées comme les plus néfastes pour la dynamique. Il est souvent admis, mais à tort, que seules les résonances d’ordre faible sont à corriger (voir le rapport du CERN de Guignard, 1978 où l’auteur reformule une théorie des perturbations du premier ordre). Pourtant les hexapôles excitent les résonances de tout ordre (comme nous l’avons observé pour l’application d’Hénon, p. § sqq.). La méthode utilisée pour Super-ACO ou SOLEIL repose sur le travail réalisé par Audy (1989) : les coeﬃcients analytiques des amplitudes des résonances d’ordre 3 sont calculés puis minimisés par ajustement (c’est une méthode de perturbation du premier ordre).

Deux questions viennent tout de suite à l’esprit : (1) est-il possible de prédire quelles résonances sont susceptibles d’être excitées sur la machine réelle ? (2) est-il possible d’établir une méthode pour identiﬁer facilement les résonances et d’estimer leurs amplitudes ?

Un début de réponse peut être apporté par l’utilisation de la théorie des perturbations en calculant des formes normales. Elles ont été introduites en Physique des Accélérateurs principalement par Dragt et Forest (Université de Maryland) et sont très utilisées au CERN. Bien que donnant de bons résultats (voir par exemple Todesco, Gemmi et Giovannozzi, 1997 et une application au LHC par Papaphilippou et Schmidt, 1998), cette méthode est assez lourde à mettre en œuvre. Des corrections locales sont possibles mais cette méthode dépend fortement de la modélisation et ne permet pas d’eﬀectuer simplement des comparaisons directes entre le modèle et la machine en fonctionnement.

L’Analyse en Fréquence est au contraire une méthode numérique qui permet de manière assez intuitive et pratique d’identiﬁer des résonances et d’estimer leur amplitude. Nous allons l’appliquer à quatre sources de lumière : le Projet SOLEIL, l’ESRF, Super-ACO et l’ALS. Pour chacune de ces machines, nous calculerons des cartes en fréquence ainsi que les ouvertures dynamiques associées. Les résultats seront présentés soit pour une modélisation purement théorique, soit pour une machine en fonctionnement (cf. résultats expérimentaux, chapitres sur l’ALS et Super-ACO). Nous montrerons la grande sensibilité de la dynamique aux réglages magnétiques.

Par soucis de clariﬁcation, je tiens à dire que ces deux approches sont complémentaires. La théorie des perturbations a été introduite à une époque où les gros ordinateurs n’existaient pas. Elle a permis et permet encore d’obtenir des formules analytiques relativement simples utilisées pour améliorer le réglage d’un accélérateur et comprendre sa dynamique (e.g. glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude, déformation de l’espace des phases, largeur des résonances). Cette méthode ne fonctionne plus si le système est trop perturbé. Elle est moins précise que les intégrateurs numériques pour déterminer les équations du mouvement. La seconde approche repose sur les outils numériques. Elle permet une détermination précise de la trajectoire d’une particule (intégrateurs, codes de tracking) aussi bien pour un régime faiblement que fortement perturbé. Son inconvénient majeur est d’être une « boîte noire » qui fournit peu d’informations pour une compréhension théorique du mouvement nonlinéaire (approche qualitative).

Pour l’ensemble des résultats qui vont être présentés, nous ne prenons en compte que la dynamique transverse en négligeant le mouvement longitudinal. Ce choix est justiﬁé dans la mesure où le nombre d’ondes longitudinal $νs$ est très faible devant les nombres d’ondes transverses : par exemple pour SOLEIL, la fréquence longitudinale est $νs = 0.006$ et les nombres d’ondes sont $νx=18.28$ et $νy = 8.38$ .

La majorité des cartes en noir et blanc du corps du mémoire sont reproduites en couleur en annexe B.

3.1 Le Projet SOLEIL

SOLEIL [110], acronyme pour Source Optimisée de Lumière d’Energie Intermédiaire de LURE, est une source de rayonnement de hautes performances. Après de nombreux et longs atermoiements, sa construction devrait débuter sur le plateau de Saclay à partir de l’automne 2001 pour des premiers photons ﬁn 2005. La machine vise à remplacer les installations vieillissantes du LURE et à doter la communauté française d’une installation de troisième génération optimisée dans une gamme spectrale complémentaire de l’ESRF, la source européenne de rayonnement synchrotron localisée à Grenoble.

3.1.1 Optique

La maille standard de SOLEIL est construite sur une structure dite Chasman-Green modiﬁée⁴ (APD SOLEIL, 1999) avec dispersion répartie⁵. Les principales caractéristiques et les fonctions optiques de la machine sont données par le tableau 3.1 et la ﬁgure 3.1. Pour cette étude, la maille de SOLEIL est sans défaut avec sa 4-périodicité. Les chromaticités naturelles sont parfaitement compensées. Les calculs ont été faits pour des particules ayant l’énergie nominale de la machine.


Energie (GeV)	$2.5$
Circonférence (m)	$337$
Point de fonctionnement	$18.28$ , $8.38$
Chromaticités réd. nat.	$− 3.01$ , $− 2.66$
Dispersion en énergie	$9.24 × 10−4$
Emittance horiz. (nm.rad)	$3$
Ouverture physique (mm)	$± 35, ±6.5$
Familles hexapolaires	8
Périodicité	4

TAB. 3.1:

Principaux paramètres de SOLEIL (APD, 1999).

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FIG. 3.1:

Fonctions optiques pour une maille de SOLEIL.

3.1.2 Dynamique

En appliquant le schéma de construction précédemment énoncé (p. §), les cartes en fréquence et les ouvertures dynamiques ont été calculées pour les deux optiques retenues pour SOLEIL. L’ensemble des calculs a été réalisé avec le code de tracking DESPOT [42] en intégrant la trajectoire d’une particule « test » sur $2 × 1000$ tours. Ce choix est justiﬁé par un temps d’amortissement transverse de 8.73 ms, i.e. 7 771 tours et un temps d’amortissement longitudinal de 4.35 ms soit 3 872 tours. Des intégrations à très long terme ont été également entreprises aﬁn de vériﬁer la validité de ces hypothèses. Les deux optiques faible émittance retenues et optimisées par l’équipe faisceau de SOLEIL sont appelées optique faible émittance 1 et 2 (APD SOLEIL, chap. IV Sources).

3.1.2.1 Optique faible émittance numéro 1

Pour la première optique, le point de fonctionnement est $(ν ,ν ) = (18.28,8.38) x y$ ; Les glissements des nombres d’ondes avec l’amplitude sont donnés par la ﬁgure 3.2-a. Cette optique a été optimisée pour contraindre la variation du nombre d’ondes horizontal $νx$ entre les résonances $7νx−4×32 = 0$ et $9νx − 4 × 41 = 0$ .

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FIG. 3.2:

(a) : Glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude. Dans chaque cas, une des positions $x$ ou $y$ est ﬁxée à $1μm$ (quasi-absence de couplage entre les deux plans). Cette optique a initialement été conçue pour contraindre les courbes en fréquence entre les résonances d’ordre 7 et 9. (b) : Carte en fréquence de l’optique numéro 1 de SOLEIL avec identiﬁcation des principales résonances. La dynamique est perturbée par la résonance 5 :2 :-2 et à grande amplitude par la résonance entière d’ordre 9 (région chaotique). Le point de fonctionnement est à l’intersection des deux droites en pointillés.

FIG. 3.3:

(a) Carte en fréquence et (b) ouverture dynamique de l’optique faible émittance numéro 1 de SOLEIL calculées pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx=10$ m et $βy = 8$ m). L’ouverture dynamique est grande. Elle est marquée par les résonances ; en particulier, la protubérance observée vers $x = 38$ mm correspond à la résonance d’ordre 9. La diﬀusion est codée en niveaux de gris. Elle est plus importante au voisinage des résonances et sur le bord de l’ouverture dynamique (grande amplitude).

A la lecture de la ﬁgure 3.3-b, l’ouverture dynamique semble très grande : $[0, 40] × [0, 24] y=0 x=0$ mm cependant ces dimensions doivent être légèrement réduites à $35$ mm selon $x$ (présence d’une île due à la résonance d’ordre 9) et $20$ mm selon $y$ .

Le point de fonctionnement est représenté par une croix (en pointillés sur la carte 3.2-b). Il est presque confondu avec le coin en haut à droite de la carte en fréquence. Le bord supérieur (resp. inférieur) de la carte correspond au glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude horizontale (resp. verticale) pour la seconde amplitude ﬁxée à $1 μm$ (faible couplage). Pour déchiﬀrer la carte 3.3-a (voir aussi la carte en couleur B.1), il est utile de distinguer trois types de zones :

zones régulières: où les points de l’espace des fréquence sont régulièrement espacés avec une faible diﬀusion⁶ ( $D< − 6$ ). Le mouvement est typiquement un mouvement bétatron régulier comme au voisinage du point de fonctionnement $(νx,νy) = (18.28,8.38)$ — aux faibles amplitudes bétatrons, le mouvement est évidemment linéaire —.
résonances: qui sont les droites de pente rationnelle, $pνx + qνy + r = 0$ . Selon que la résonance est traversée au voisinage d’une zone elliptique ou hyperbolique, on observe soit une accumulation de points soit une désertion (cf. Analyse en Fréquence et pendule p. §). De manière générale, la diﬀusion est plus élevée. La particule aura tendance à osciller transversalement à la résonance. Si la région est bornée de zones régulières, le mouvement est conﬁné (cf. discussion sur la diﬀusion p. §, le schéma 2.11 et infra).
zones chaotiques: où toute structure est perdue avec une diﬀusion élevée ( $D > − 4$ ) et qui peut conduire à un comportement fortement nonlinéaire et même chaotique, par exemple aux grandes amplitudes et sur les bords de l’ouverture dynamique.

Pour l’optique ici considérée, la carte en fréquence révèle une dynamique relativement stable, néanmoins plusieurs résonances sont mises en évidence.

La résonance d’ordre 7, $5νx + 2νy − 4 × 27 = 0$ , est atteinte pour $x = 24$ mm (voir la carte 3.2-b où l’ordre des résonances est le triplet p :q :r déﬁni p. §). On remarquera également un nœud de résonances juste au-dessus entre cette même résonance et les résonances $4νx − 73 = 0$ , $3ν−2ν − 38 = 0 xy$ , $ν − 6ν + 4 × 8 = 0 x y$ et $11ν − 2ν − 4 × 46 = 0 x y$ . Nous pouvons supposer que si ce nœud de résonances ou la résonance d’ordre 7 sont excités, par exemple par les inévitables défauts magnétiques, alors la symétrie 4 de l’anneau sera brisée et toutes les orbites au-delà seront instables. Dans ce cas, l’ouverture dynamique horizontale ne serait plus que de 24 mm selon $x$ . Cet eﬀet est observé lorsque que l’on simule le déplacement (sciemment exagéré) d’un hexapôle dans l’anneau (cf. carte en fréquence 3.4 à comparer avec Fig. 3.2-b).

Plus inquiétant pour la stabilité du faisceau est le nœud entre les résonances d’ordre 7, $3νx+4νy − 4 × 22 = 0$ , d’ordre 9, $9νx − 4 × 41 = 0$ , d’ordre 11, $3 νx − 8 νy + 4 × 3 = 0$ et d’ordre 5, $3νx − 2νy − 38 = 0$ (cf. carte 3.2-b).

Il est important de noter que la dynamique est fortement contrainte non seulement par les résonances d’ordre faible, mais aussi par d’ordres plus élevés 9, 11, 13, et ceci, même pour une machine idéale⁷ . Leur inﬂuence est importante à grande amplitude et au voisinage des nœuds de résonances — recouvrement des largeurs de résonances, critère de Chirikov —. Voir pour cela (Laskar, 1993).

Le calcul exhaustif de l’ouverture dynamique ainsi que l’utilisation de la diﬀusion permet d’établir une bijection entre l’ouverture dynamique et la carte en fréquence (sauf dans les régions elliptiques). La localisation des résonances est plus aisée dans les deux espaces, en particulier celles qui limitent l’ouverture dynamique. Par exemple, la région dans l’ouverture dynamique vers $x ≈ 38$ mm (protubérance du la ﬁgure 3.3-b) correspond aux îles de la résonance d’ordre 9, $9νx − 4 × 41 = 0$ . Les résonances apparaissent nettement dans l’ouverture dynamique : ce sont les courbes où la diﬀusion est plus importante (cf. Fig. 3.3-b).

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FIG. 3.4:

Inﬂuence du déplacement d’un hexapôle sur la carte en fréquence de l’optique numéro 1 de SOLEIL : la résonance d’ordre 7, 5 :2 :-2 est fortement excitée. Toutes les orbites ayant des nombres d’ondes au-delà sont maintenant instables. L’extension de la carte en fréquence est réduite de plus d’un facteur deux selon $νy$ .

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FIG. 3.5:

Diﬀusion à long terme (grossissement de la carte 3.2-b de SOLEIL). (O1) Orbite régulière. (O2) Diﬀusion transverse rapide et longitudinale lente par rapport à la résonance $3 : 4 : − 2$ . (O3) Diﬀusion rapide dans une région chaotique : la particule est perdue après 5 380 tours de machine.

Enﬁn, remarquons que la carte en fréquence admet une torsion non déﬁnie au voisinage du point de fonctionnement ainsi qu’aux grandes amplitudes. La carte en fréquence 3.2-b se replie sur elle-même (le lecteur peut également s’aider de la ﬁgure 3.2-a). Il n’y a alors plus de bijection globale entre la carte en fréquence et l’ouverture dynamique. La torsion non déﬁnie a des implications sur la stabilité du faisceau, car elle permet en particulier des directions où la diﬀusion peut être très rapide (Laskar, 1999).

Pour illustrer diﬀérents processus de diﬀusion, la ﬁgure 3.5 (partie inférieure gauche de la carte 3.2-b) représente trois orbites intégrées à long terme, sur 100 000 tours (l’amortissement n’est pas pris en compte, seule la diﬀusion au voisinage d’une résonance est étudiée).

une orbite (O1) de conditions initiales $(x0,y0) = (17,13 )$ mm et de nombres d’ondes initiaux $(νx,νy) = (18.256,8.360)$ . La particule est stable et reste sur la résonance d’ordre 7, $5νx + 2νy − 4 × 27 = 0$ .
une orbite (O2) de conditions initiales $(x0,y0) = (25, 14)$ mm et de nombres d’ondes initiaux $(νx,νy) = (18.216, 8.341)$ , i.e. au voisinage de la résonance $3νx+ 4νy − 4 × 22 = 0$ . L’orbite diﬀuse rapidement transversalement à la ligne de résonance et lentement longitudinalement (diﬀusion souvent appelée diﬀusion d’Arnold). La particule est perdue au bout de 75 000 tours de machine.
une orbite (O3) de conditions initiales $(x0,y0) = (17.2,18.5)$ mm et de nombres d’ondes initiaux $(νx,νy) = (18.256,8.360)$ , i.e. au voisinage dans une région de forte diﬀusion. La particule diﬀuse dans l’espace des fréquences rapidement, puis reste capturée 2 000 tours par la résonance $3 ν + 4 ν − 4 × 22 = 0 x y$ et est perdue au bout de 5 380 tours.

3.1.2.2 Optique faible émittance numéro 1 modiﬁée

Les résultats précédents m’ont amené à proposer avec P. Nghiem une optique modiﬁée (Nadolski, 1998 et chap. IV de l’APD SOLEIL) : comme la résonance d’ordre 9 et le nœud associé semblent être néfastes pour la dynamique, tout en gardant le même point de fonctionnement, nous avons contraint la courbe en fréquence de sorte qu’elle n’atteigne pas cette résonance. Pour cela, nous avons modiﬁé la pente à l’origine de la courbe en fréquence modiﬁée de la valeur $(dνx) dx2 x=0 = 300$ à $700$ en utilisant les hexapôles (cf. Fig. 3.7).

Comme attendu, le but est atteint tout en conservant pratiquement la même ouverture dynamique (cf. Fig. 3.9 et carte en couleur B.2). Les principales résonances identiﬁées pour ce réglage sont données par le tableau 3.2 et localisées sur la ﬁgure 3.6.


$pνx+q νy + r′ × 4 = 0$	Ordre

$7νx − 32 × 4 = 0$	7 :0 :-2
$ν− 6ν + 8 × 4 = 0 x y$	1 :-6 :2
$3νx− 8νy + 3 × 4 = 0$	3 :8 :2
$νx + 2νy − 35 = 0$	1 :2 :-1
$νx − νy − 10 = 0$	1 :-1 :0
$νx−7 νy + 10 × 4 = 0$	1 :-7 :2
$ν+5 ν − 15 × 4 = 0 x y$	1 :5 :-2
$6νx + νy − 118 = 0$	6 :1 :-2
$5νx − 10 νy − 8 = 0$	5 :-10 :2

TAB. 3.2:

Résonances identiﬁées sur la carte en fréquence de l’optique faible émittance numéro 1 modifée de SOLEIL. L’ordre correspond au triplet $p : q : r$ déﬁni à partir de la partie fractionnaire des nombres d’ondes (cf. page §).

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FIG. 3.6:

Optique 1 modiﬁée de SOLEIL ( $βx=10$ m et $βy = 8$ m) : Carte en fréquence avec les principales résonances (surface de Poincaré en $s=0$ ). La carte en fréquence est repliée sur elle-même, e.g. au voisinage du point de fonctionnement qui est à l’intersection des deux droites en pointillés.

Dans ce cas, l’extension de la carte en fréquence est réduite, moins de résonances perturbent la dynamique mais en contrepartie, la carte en fréquence est plus repliée sur elle-même (cf. au voisinage du point de fonctionnement et sur la partie gauche de la carte en fréquence 3.6).

Il doit être remarqué que l’allure d’une carte en fréquence est très sensible à une faible modiﬁcation des forces hexapolaires. La dynamique associée est alors complètement diﬀérente alors que les tailles des ouvertures dynamiques ont peu changé (comparer les cartes 3.3-a et 3.9-a).

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FIG. 3.7:

Variation des nombres d’ondes avec l’amplitude à faible couplage ( $1μm$ ) pour l’optique 1 modiﬁée de SOLEIL. La résonance d’ordre 7 est traversée a faible et grande amplitude. Par contre la résonance d’ordre 9 n’est plus atteinte (comparer avec les courbes 3.2-a).

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FIG. 3.8:

Variation des nombres d’ondes avec l’amplitude à faible couplage ( $1μm$ ) pour l’optique 2 de SOLEIL. Les hexapôles ont été réglés de manière à ne plus traverser les résonances d’ordre 7 et 9 qui marquaient la dynamique (comparer avec les courbes 3.2-a).

3.1.2.3 Optique faible émittance numéro 2

Pour l’optique faible émittance numéro 2, le point de fonctionnement est déplacé à $(νx,νy)= (18.30,8.38)$ de manière à ne jamais traverser la résonance d’ordre 7, $7νx − 4 × 32 = 0$ (cf. courbes en fréquence 3.8).

La carte en fréquence et l’ouverture dynamique sont données par la ﬁgure 3.10 : bien que l’ouverture dynamique soit légèrement plus petite, elle reste néanmoins plus grande que l’ouverture physique (cf. Tab. 3.2) et surtout la diﬀusion est bien plus faible que pour la première optique (comparer avec les cartes 3.3 et 3.10).

La carte est deux fois repliée sur elle-même pour cette optique : elle a une faible extension dans l’espace des fréquences et le nombre de résonances rencontrées est bien plus faible. L’inﬂuence du repliement de la carte en fréquence sur la dynamique n’a pas fait l’objet d’une étude approfondie pour le présent travail (pour une discussion, voir Laskar, 1999).

FIG. 3.9:

Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 10$ m et $βy=8$ m) pour l’optique 1 modiﬁée de SOLEIL. L’ouverture dynamique est presque aussi grande que pour la première optique ; la carte en fréquence est repliée sur elle-même : sa lecture en est rendue plus diﬃcile. Son extension spatiale est réduite, moins de résonances sont rencontrées. La diﬀusion des orbites est globalement plus faible.

FIG. 3.10:

Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 10$ m et $βy=8$ m) l’optique 2 de SOLEIL. Les glissements des nombres d’onde sont faibles, ce qui se traduit par une faible extension de la carte en fréquence, une faible diﬀusion et une grande ouverture dynamique. La carte en fréquence est repliée sur elle-même par deux fois.

3.1.2.4 Conclusion sur les optiques de SOLEIL

Parmi les deux optiques principales retenues pour SOLEIL, l’optique faible émittance numéro 2 est la plus prometteuse en termes de stabilité du faisceau, taille de l’ouverture dynamique (grande vis-à-vis de l’ouverture physique) avec un très faible nombre de résonances excitées. En particulier, à ouverture dynamique égale, l’optique numéro 2 décrit une dynamique avec une plus faible diﬀusion que l’optique numéro 1. Nous avons vu néanmoins qu’il est possible d’améliorer l’optique faible émittance 1 sans diminution particulière des autres paramètres caractéristiques (cf. optique 1 modiﬁée).

En eﬀet le groupe faisceau de SOLEIL a choisi de réaliser une machine relativement souple en termes de réglages et ajustements magnétiques. Six des huit familles d’hexapôles peuvent être utilisées pour modiﬁer l’optimisation sans avoir besoin de déplacer le point de fonctionnement ; des ajustements ﬁns et la réduction de l’inﬂuence des résonances peuvent être ainsi facilement envisagés⁸. Nous devons cependant constater la très grande sensibilité de la dynamique aux forces hexapolaires : l’allure (repliement, extension spatiale) des cartes en fréquence des trois optiques présentées est complètement diﬀérente alors que les forces hexapolaires ont été faiblement modiﬁées.

Ces études devraient être complétées par le calcul de cartes en fréquence et d’ouvertures dynamiques oﬀ momentum pour évaluer l’impact des optiques sur l’eﬃcacité d’injection et la durée de vie du faisceau. L’introduction de défauts magnétiques réalistes devrait permettre d’obtenir une estimation raisonnable des performances réelles de la machine en fonctionnement.

3.2 Super-ACO

3.2.1 Introduction

Super-ACO [75] est la première machine en France dédiée dès sa construction au rayonnement synchrotron. Mise en fonctionnement en 1987 aﬁn de remplacer l’Anneau de Collision d’Orsay (ACO), Super-ACO est la première source de lumière ayant toutes ses sections droites libres équipées de dispositifs d’insertion⁹ ; à ce titre, c’est une machine intermédiaire entre la deuxième et la troisième génération (son émittance verticale est trop grande pour être classée dans la dernière catégorie). Les particules stockées sont des positrons.

3.2.2 Description d’une maille

Super-ACO est une machine d’énergie intermédiaire, $E = 800 M eV$ , constituée de quatre super-périodes (cf. synoptique de la machine 3.11). La maille standard, i.e. une super-période, suit une structure Chasman-Green avec un plan de symétrie (cf. schéma 3.12). Les principales caractéristiques de l’anneau de stockage sont rassemblées dans le tableau 3.3.

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FIG. 3.11:

Synoptique de Super-ACO. L’anneau possède une symétrie 4. Ses 32 quadripôles sont répartis en 4 familles. Chacun des 8 dipôles courbe la trajectoire d’une particule d’un angle moyen de 45˚.

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FIG. 3.12:

Une des 4 mailles de Super-ACO à symétrie centrale. La structure suit une schéma de Chasman-Green (deux dipôles). Les familles de quadripôles $Q1$ et $Q2$ servent à ajuster les nombres d’ondes, la fonction dispersion est réglée avec les deux autres familles.

De par leurs particularités, il est intéressant de donner une brève description des diﬀérents éléments magnétiques de Super-ACO :

Les dipôles sont modélisés avec de forts champs de fuite¹⁰ qui induisent un glissement du nombre d’ondes vertical non négligeable de $Δ νy = − 0.094$ . La valeur de l’angle des coins des dipôles est ajustée sur les mesures expérimentales (Level et Nghiem, 1986). Pour obtenir la même avance de phase, l’angle n’est pas $θ 2=22.5$ ˚mais $θmes 2 = 21.8$ ˚(cf. le schéma d’un aimant à faces parallèles 2.2 p. §).


Circonférence (m)	72.04
Energie (MeV)	800
Rayon de courbure des dipôles (m)	1.7
Fréquence de révolution (MHz)	4.162
Périodicité	4
Nombre de familles d’hexapôles	4

TAB. 3.3:

Caractéristiques machine de Super-ACO.

Un quadripôle combiné comprend (cf. schéma 3.13) une bobine principale pouvant créer un gradient maximum de $8 T.m −1$ , une bobine hexapolaire de champ maximum $11 T.m −2$ , une bobine dipolaire, pour compenser la composante dipolaire créée par la bobine hexapolaire et deux bobines de correction (pour correction dipolaire horizontale, dipolaire verticale ou quadripolaire). L’hexapôle ( $H$ ) possède un terme décapolaire important simulé par une lentille décapolaire ( $LD$ ). Le quadripôle est ainsi modélisé par un champ quadripolaire, une composante hexapolaire et une lentille décapolaire (cf. schéma équivalent 3.14).

Le point de fonctionnement est ajusté à l’aide des familles quadripolaires $Q1$ et $Q2$ , la fonction dispersion à l’aide des familles $Q3$ et $Q4$ .

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FIG. 3.13:

Schéma d’une coupe d’un demi-quadripôle de Super-ACO. L’hexapôle est créé par un mauvais dipôle. Deux bobines de corrections peuvent être utilisées pour la correction dipolaire ou quadripolaire (extrait de Barthès et al., 1990).

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FIG. 3.14:

Schéma équivalent d’un quadripôle combiné de Super-ACO. L’hexapôle (H) et le décapôle (LD) sont modélisés par des lentilles minces.

Les familles hexapolaires $H3$ et $H4$ situées dans l’achromat¹¹ sont utilisées pour ajuster les chromaticités ; les familles $H1$ et $H2$ sont réglées pour minimiser l’amplitude des résonances d’ordre trois induites par les hexapôles (Audy, 1989).
Les forces intégrées décapolaires ( $LD$ ) et hexapolaires ( $H$ ) sont reliées par la relation $LD = − 27H$ (Brunelle et al., 1999 et communication personnelle de Pascale Brunelle).

L’ouverture physique horizontale est limitée par le septum¹² situé à $− 20$ mm vers l’intérieur de l’anneau et vers l’extérieur par la chambre à vide à $+60$ mm. Verticalement, la limite est donnée par les dimensions de la chambre à vide dans les onduleurs, soit $± 15$ mm.

3.2.3 Choix du logiciel de tracking

Pour eﬀectuer cette étude, plusieurs logiciels pouvaient être utilisés¹³ :

MAD8 : logiciel développé au CERN [50]
BETA : logiciel développé au CEA [93]
DESPOT : code de calcul développé au Lawrence Berkeley National Laboratory [42]

Le programme DESPOT a dû être abandonné dès le début pour cette étude, car il ne modélise pas les champs de fuite d’un dipôle : tout le code est écrit dans l’approximation des grandes machines.

Le programme BETA a l’inconvénient d’être lourdement interfacé et interactif, rendant son utilisation diﬃcile pour des calculs longs tels ceux d’une carte en fréquence. Cependant étant utilisé au LURE, dans un premier temps, il n’a pas été écarté.

3.2.3.1 Symplecticité et champ de fuite avec le code BETA

L’ensemble de la discussion va porter sur une description de Super-ACO sans défaut, i.e. pour une machine idéale.

Lorsque les champs de fuite sont inclus dans le modèle de la dynamique, les calculs eﬀectués avec le code BETA à l’ordre 2 ne sont plus symplectiques. En fait, leur inclusion dans le développement de Taylor d’ordre 2 « tue » la symplecticité de l’intégrateur (cf. Fig. 3.15). Si l’on appelle $ℳ$ l’application de transfert et $M$ sa matrice jacobienne, alors par déﬁnition la transformation est symplectique si et seulement si (Goldstein, 1980) :

( ) t O3 I3 MSM = S avec S = − I O 3 3

avec $I3$ et $O3$ respectivement les matrices identité et nulle de rang 3. Ces conditions de symplecticité se traduisent par 15 relations pour un système à 3 degrés de liberté. Dans le logiciel BETA, la matrice de transfert prend en compte les termes du second ordre. Ainsi programmé, le nombre de relations de symplecticité est plus élevé (quelques conditions devant être théoriquement nulles, si le schéma d’intégration est symplectique, sont données par le tableau 3.4). Il ne faut donc pas utiliser BETA au second ordre pour Super-ACO mais utiliser l’ordre dit scaling¹⁴ qui prend correctement en compte les champs de fuite.


Avec champs de fuite		Conditions de symplecticité

1.07E-09	-9.41E-09	3.72E-08	3.27E-04	6.04E-03
6.04E-03	-1.24E-02	1.77E-02	-2.80E-01	4.79E-04
1.77E-02	-3.55E-14	-1.07E-13	1.56E-13

Sans champ de fuite		Conditions de symplecticité

1.07E-09	-9.41E-09	3.72E-08	4.44E-16	-5.84E-14
-1.46E-13	-1.42E-12	-2.61E-13	1.58E-11	-5.33E-15
6.39E-14	-8.70E-14	-3.23E-13	1.58E-13

TAB. 3.4:

Variations des conditions de symplecticité avec et sans champ de fuite dans les dipôles de Super-ACO (calculs avec le code BETA). Normalement, toutes ces conditions devraient être proche d’un zéro numérique.

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FIG. 3.15:

Un exemple de non symplecticité : une particule test de conditions initiales $x=3 0$ cm et $x′= 0 0$ est intégrée sur 5 000 tours au second l’ordre avec le code BETA. Normalement, la trajectoire des phases devrait être une ellipse passant par la condition initiale (le système est dans ce cas à un degré de liberté). On observe au contraire une trajectoire spirale vers le centre de l’espace des phases (x,x’) comme en présence d’un terme d’amortissement. Les points de la trajectoire ne sont pas reliés par soucis de lisibilité.

3.2.3.2 Symplecticité et faible rayon de courbure

Si les champs de fuite des dipôles sont négligés, au second ordre, le système intégré reste symplectique (comme on l’attend), mais uniquement à très faible amplitude (e.g. $x0 = 1$ mm). Par contre dès $x0 > 5$ mm, l’espace des phases se peuple de trajectoires spirales caractéristiques ici encore de la non-symplecticité. Après quelques discussions fructueuses avec J. Payet, il s’avère que la seconde raison de non-symplecticité est le faible rayon de courbure de Super-ACO, $ρ=1.7 c$ m. Notons cependant que ce problème est général pour pratiquement tous les logiciels de tracking — second ordre de MAD compris — car l’approximation des grands rayons de courbure, abusivement utilisée, est souvent oubliée.

La conclusion est l’obligation d’utiliser le code BETA à l’ordre scaling pour tous les calculs de Super-ACO.

3.2.3.3 Notes sur l’ordre scaling de BETA

Une fois ces premiers problèmes cernés, une comparaison des résultats obtenus avec les logiciels BETA et MAD a été réalisée. Rappelons que parmi les critères recherchés, la rapidité de calcul et la validité du code à grandes amplitudes sur un grand nombre de tours sont primordiales pour utiliser l’Analyse en Fréquence.

La ﬁgure 3.16 illustre un bogue lors du calcul de la contribution des multipôles dans BETA. Alors qu’à l’ordre scaling, les résultats devraient être strictement identiques en mode¹⁵ XZ ou QXZ, ils sont totalement dissemblables, en particulier pour la variation du nombre d’ondes horizontal avec l’amplitude. Après discussion avec J. Payet, il s’avère que les calculs doivent être réalisés en mode XZ (plus lent que le mode QXZ mais « moins imprécis » !).

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FIG. 3.16:

Comparaison des glissements des nombres d’ondes calculés à l’ordre scaling en mode QXZ, XZ de BETA et avec l’intégrateur LIE4 de MAD sur 1 000 tours de Super-ACO. Les calculs des décapôles ne sont pas corrects à grandes amplitudes ( $x > 20$ mm) avec le code BETA (cf. faible rayon de courbure de l’anneau).

Ajoutons enﬁn, que l’ordre scaling est une approximation qui est valide seulement à faible amplitude. En comparant les résultats entre BETA et MAD, il s’avère que les résultats diﬀèrent dès $x=±20$ mm¹⁶, amplitude relativement faible puisque l’acceptance physique de la machine est $+ 60$ mm ! Au-delà, les résultats de BETA sont complètement faux, car les approximations de calcul ne sont plus vériﬁées.

Dans la suite, sauf cas explicitement dit, je n’utilise plus que l’intégrateur LIE4 de MAD qui est assez lent mais « exact » à grande amplitude car symplectique d’ordre quatre.

Pour ﬁnir, remarquons qu’on n’observe pas de diﬀérence notable pour le calcul de $νy = f (y )$ avec BETA mode QXZ, XZ ou LIE4 de MAD. Ce résultat se comprend immédiatement, car les lentilles décapolaires induisent le champ magnétique suivant :

{ Bx = b5(x4 + y4 − 6x2y2) 3 3 By = b5(4x y − 4xy )

(3.1)

où $b 5$ est la force octupolaire (cf. l’expression générale 1.46 du champ magnétique, p. §). Or les calculs précédents ont été réalisés pour $x = 0$ ou $y = 0$ (couplage non pris en compte dans ce type de calcul par le code BETA) ; les champs magnétiques se simpliﬁent dans le premier cas à $(Bx,By)= b5(y4,0)$ et dans le second cas à $(Bx, By) = b5(x4,0)$ . Donc, il n’y a pas d’inﬂuence notable dans le plan vertical.

Malgré ses qualités, le code BETA n’est pas adapté pour eﬀectuer de longues intégrations numériques et des optimisations à grandes amplitudes (pour une machine à faible rayon de courbure). D’ailleurs, il n’a pas été écrit dans cette optique (cf. les approximations réalisées).

3.2.4 Machine idéale

Super-ACO est considéré comme machine parfaite, i.e. sans défauts avec sa 4-périodicité. Les onduleurs ou wigglers ne sont pas modélisés et de plus les forces des lentilles décapolaires sont surestimées¹⁷ d’un facteur $2.5$ : $LD = − 70H$ .

3.2.4.1 Optique

Le point de fonctionnement a pour nombres d’ondes $νx = 4.72$ et $νy = 1.70$ et les hexapôles chromatiques sont ajustés pour une chromaticité nulle dans les deux plans (tableau 3.5). L’ensemble des calculs est réalisé pour des particules d’énergie nominale ( $δ = 0$ ). Les fonctions optiques pour une super-période sont données par la ﬁgure 3.17.


$νx$ , $νy$	4.72, 1.70
$ξx$ , $ξy$	0.0, 0.0
$νs$	0.0034
$ε x$ (nm.rad)	38
$Tamort$ (tours)	75 000

TAB. 3.5:

Caractéristiques faisceau de l’anneau considéré comme machine idéale avec sa 4-périodicité. La fréquence longitudinale ( $νs$ ) est 1 000 fois plus faible que les nombres d’ondes. Avec une grande émittance ( $εx$ ), le faisceau de Super-ACO est amorti au bout d’un grand nombre de tours ( $Tamort$ ).

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FIG. 3.17:

Fonctions optiques pour une des quatre super-périodes de Super-ACO : machine idéale.

Les calculs eﬀectués avec le logiciel BETA diﬀèrent de ceux du logiciel MAD tout particulièrement pour des intégrations à grandes amplitudes. Nous l’avons déjà vériﬁé dans la section précédente. Les courbes de glissement des nombres d’ondes (Fig. 3.18) sont obtenues en utilisant l’intégrateur LIE4 de MAD.

Il est intéressant de comparer les ouvertures dynamiques calculées avec le logiciel BETA et avec le code MAD (Fig. 3.19). La méthode de calcul de l’ouverture dynamique de BETA et celle présentée avec MAD sont radicalement diﬀérentes. La philosophie de BETA est de ne tracer que le bord de l’ouverture dynamique selon le schéma suivant. On se donne une amplitude $y$ à $x$ ﬁxé, on commence l’intégration, si l’on est stable (resp. instable), on incrémente (resp. décrémente) $y$ jusqu’à être instable (resp. stable). Ensuite, $x$ est incrémenté et l’on réitère le processus précédent. Notons que par cette méthode, on n’explore pas l’intérieur de l’ouverture dynamique qui peut alors contenir des régions conduisant à des mouvements instables. Un des points forts de cette méthode est la rapidité du temps de calcul qui permet de l’utiliser pour l’optimisation d’une machine pour un faible nombre de tours.

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FIG. 3.18:

Maille idéale de Super-ACO : Glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude obtenus avec le programme MAD (LIE4) sur 1 000 tours (à couplage faible $1μm$ ).

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FIG. 3.19:

Ouverture dynamique de Super-ACO ( $βx = 5.6$ m et $βy=10.8$ m) obtenue avec les codes BETA (contour, calcul rapide) et MAD sur 1 000 tours (calcul long).

Dans le second cas, on n’utilise MAD que pour réaliser l’intégration numérique de la trajectoire. On se donne une grille de conditions initiales $(x0,x′0,y0,y′0) = (x,0,y,0)$ et pour chaque nœud du maillage, on eﬀectue l’intégration et l’on ne garde que les conditions initiales qui ont conduit à un mouvement stable. Ce type de calcul est beaucoup plus long, mais il est exhaustif au sens où l’on est assuré de ne pas avoir de région instable contenue dans l’ouverture dynamique, pourvu que le maillage soit assez ﬁn (typiquement 150 $×$ 150 conditions initiales avec un pas suivant une loi en racine carrée).

Dans la présente étude, cette méthode donne des résultats peu diﬀérents qualitativement mais complètement diﬀérents quantitativement (bijection entre ouverture dynamique et carte en fréquence, localisation des résonances, stabilité).

3.2.4.2 Dynamique

L’ouverture dynamique (ﬁgure 3.20-d) et la carte en fréquence (ﬁgure 3.20-c) ont été calculées en intégrant la trajectoire de $150 × 150$ conditions initiales réparties dans le premier quadrant ( $x>0,y > 0$ ) de l’espace des conﬁgurations $(x,y) ∈ [0,50] × [0,60] mm$ . L’intégration est eﬀectuée sur deux fois 1 000 tours. Les 1 000 premiers tours sont utilisés pour calculer les fréquences associées au mouvement d’une particule survivante et les 1 000 suivants pour calculer la diﬀusion de l’orbite. Ce choix n’est pas arbitraire mais est justiﬁé par une rapide convergence de l’application fréquence. Rappelons que, grâce aux propriétés de l’Analyse en Fréquence, l’on est dispensé de réaliser une intégration numérique des trajectoires pour un nombre de tours de 75 000 correspondant au temps d’amortissement de Super-ACO.

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FIG. 3.20:

Cartes en fréquence (c et a) tracées pour le premier ( $x > 0, y > 0$ ) et second ( $x<0,y > 0$ ) quadrant de l’ouverture dynamique (d et b). Super-ACO est modélisé comme machine idéale ( $βx = 5.6$ m et $βy = 10.8$ m). Le point de fonctionnement est le coin supérieur droit de la carte. La dynamique est principalement dominée par la résonance d’ordre 3 $(ν + 2ν − 2 × 4 = 0) x y$ qui donne la limite verticale de l’ouverture dynamique ( $y=20$ mm). Toute la partie $y > 20$ mm sur l’ouverture dynamique (d) correspond à l’île de cette résonance. La diﬀusion est codée en niveaux de gris suivant une échelle logarithmique.

Nous pouvons succintement commenter l’ouverture dynamique calculée (Fig. 3.20-d) :

A première vue, l’ouverture dynamique semble très grande : extension horizontale jusqu’à 50 mm et verticale au-delà de 50 mm. Cependant, on observe que pour des conditions initiales verticales ( $y$ ) excédant 23 mm (pour x=0 mm), la zone de stabilité résiduelle n’est qu’une immense île de résonance $(ν + 2ν − 2 × 4 = 0) x y$ . De plus aux grandes amplitudes, la diﬀusion est importante.

Une étude plus ﬁne permet d’aﬃrmer que toutes les particules survivantes ayant des conditions initiales dans la sus-dite zone ont leurs nombres d’ondes situés soit sur la résonance principale soit au-delà.

En conclusion, les dimensions de l’ouverture dynamique pour le premier quadrant ( $x>0,y > 0$ ) doivent être ramenées à des valeurs plus raisonnables : $[0, 50 ] × [0, 23]$ mm.

La carte en fréquence associée (Fig. 3.20-c) a également une grande extension dans l’espace des fréquences. La ﬁgure 3.20-c ne la montre pas dans sa totalité : elle est tronquée dans sa partie basse qui s’étend jusqu’à $νy = 1.51$ . Cependant cette partie n’a pas d’intérêt pour la dynamique, car elle ne sera jamais atteinte pour la machine réelle (hors de l’ouverture physique, la résonance principale ne peut être traversée). La description de la carte en fréquence peut être décomposée en deux parties séparée par la résonance $νx + 2 νy − 2 × 4 = 0$ (voir aussi Fig. 3.21 et les cartes en couleur B.3) :

(1) une première partie au voisinage du point de fonctionnement $(νx,νy ) = (4.72,1.70)$ , coin supérieur droit de la ﬁgure. Cette partie est très régulière avec une diﬀusion faible (équipartition des points, diﬀusion faible : $D < − 5$ ).

(Frontière 1-2) la dynamique est dominée par la résonance systématique d’ordre 3, $νx+2νy− 2 × 4 = 0$ . En pratique, en son voisinage, on observe une grande vitesse d’éjection des particules. Sur la carte en fréquence soit les particules sont capturées dans l’île de résonance soit il y a désertion de points : très proche de la résonance, la diﬀusion est très élevée ( $D > − 3$ ) correspondant à la proximité des zones hyperboliques associées à la résonance (les particules vont être perdues si l’intégration est poursuivie). La largeur de la résonance est grande : $Δν≈0.01$ .

(2) au-delà de la résonance d’ordre 3, la diﬀusion est importante, la stabilité est faible (les particules ayant des amplitudes initiales horizontales presque nulles sont tout de même stables). Les résonances révélées par la carte en fréquence sont répertoriées dans le tableau 3.6 et localisées sur la ﬁgure 3.21.


$′ pνx+q νy + r × 4 = 0$	Ordre

$νx+ 2νy − 2 × 4 = 0$	1 :2 :-2
$3 νx − 6 νy − 4 = 0$	3 :-6 :2
$νx − 4 νy + 2 = 0$	1 :-4 :2
$6ν + 4ν − 35 = 0 x y$	6 :4 :-7
$νx − 7 νy + 7 = 0$	1 :-7 :4
$3 νy − 5 = 0$	0 :3 :-2
$νx + 8νy − 18 = 0$	1 :8 :-6
$7νx − 33 = 0$	7 :0 :5
$9νx+ νy − 4 × 11 = 0$	9 :1 :-7

TAB. 3.6:

Principales résonances identiﬁées sur la carte en fréquence de Super-ACO modélisé comme machine idéale. Des résonances d’ordres aussi bien faibles qu’élevés sont observées (origine : les hexapôles).

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FIG. 3.21:

Résonances principales (traits pleins) et point de fonctionnement (traits pointillés) pour Super-ACO modélisée comme machine idéale. La carte en repliée sur elle-même pour $νx ≈ 4.7075$ .

La carte en fréquence est repliée dans la région $νx ≈ 4.7075$ (cf. Fig. 3.21). Il semble qu’au-delà de ce repliement plus aucune trajectoire ne soit stable. Ce repliement correspond dans l’ouverture dynamique aux amplitudes horizontales supérieures à $30 mm$ (cf. Fig. 3.20-d).

La ﬁgure 3.20-b exhibe le second quadrant ( $x < 0, y > 0$ ) de l’ouverture dynamique. La carte en fréquence (ﬁgure 3.20-a) est bien entendu inchangée si ce n’est le caractère hyperbolique ou elliptique des résonances rencontrées (et l’échantillonnage dans l’espace des fréquences).

L’ouverture dynamique négative a comme extension $[− 55, 0] × [0, 23] mm$ . Comme précédemment, toutes les conditions initiales des particules au deçà de la résonance principale $νx+2νy− 2 × 4 = 0$ conduisent à des mouvements peu stables ( $D > − 3$ ).

La résonance principale, $νx + 2νy − 2 × 4 = 0$ , est maintenant de nature hyperbolique : c’est pourquoi on n’observe plus d’île de résonance dans l’ouverture dynamique.

3.2.4.3 Défauts de gradients des quadripôles droits

La modélisation de Super-ACO peut être améliorée en introduisant les défauts de gradient des quadripôles droits. Les valeurs utilisées sont celles mesurées en 1990 (Barthès et al., 1990) sur l’ensemble des quadripôles de la machine pour un point de fonctionnement équivalent.

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FIG. 3.22:

(a) Ecart entre le gradient mesuré et nominal de chaque quadripôle normalisé par le gradient nominal du quadripôle 3 (mesures magnétiques aléatoires de l’ordre du pour mille, Barthès et al., 1990). (b) Carte en fréquence de Super-ACO et résonances (traits pleins) identiﬁées lorsque les défauts de gradients sont modélisés. Le point de fonctionnement est le coin supérieur droit de la carte.

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FIG. 3.23:

Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) calculées en incluant dans le modèle les mesures magnétiques des quadripôles droits de Super-ACO ( $βx = 5.8$ m et $β=10.8 y$ m). La diﬀusion est globalement plus élevée, les largeurs de résonances plus grandes. L’inﬂuence des défauts magnétiques reste faible (mêmes dimensions de l’ouverture dynamique).

La ﬁgure 3.22 indique les valeurs relatives des gradients de chacun des 32 quadripôles de Super-ACO en prenant le troisième quadripôle comme référence. Ces valeurs sont aléatoires et relativement faibles (de l’ordre du pour mille) ; la dynamique globale devrait être peu modiﬁée bien que la périodicité de l’anneau soit réduite de 4 à 1 : de nouvelles résonances devraient apparaître .

En comparant les cartes en fréquence et ouvertures dynamiques de la machine idéale (Fig. 3.20-a et b) et de la machine avec les défauts de gradients déduits des mesures magnétiques (Fig. 3.23), plusieurs remarques peuvent être faites (voir aussi la carte en couleur B.4).

Le point de fonctionnement est légèrement diﬀérent : $(ν = 4.7214,ν = 1.6962) x y$ , contre auparavant $(νx = 4.7201, νy = 1.7005)$ ; toutes les résonances vont être atteintes avec des amplitudes plus faibles. Cette diﬀérence s’explique par la modiﬁcation des gradients des familles quadripolaires $Q1$ et $Q2$ (le point de fonctionnement n’a pas été réajusté après l’introduction des défauts).

L’ouverture dynamique est très légèrement réduite. La diﬀusion est partout plus élevée et en particulier au voisinage des lignes de résonance (cf. Fig. 3.22-b) et au-delà de la résonance d’ordre 3 $νx + 2νy − 2 × 4 = 0$ (grandes amplitudes). Le nœud des résonances d’ordre 3, $3νy−5= 0$ , 9, $8νx − 1νy − 9 × 4 = 0$ , 10, $8 νx + 2 νy − 41 = 0$ et 7, $7νx − 33 = 0$ est excité.

En conclusion, une détérioration globale de la dynamique est observée mais elle reste faible.

3.2.5 Machine nominale

3.2.5.1 Optique

Suite aux études précédentes, nous souhaitions calculer une carte en fréquence correspondant aux conditions expérimentales nominales en termes de chromaticités, valeurs de courants quadripolaires et hexapolaires. Peut-être comprendrions-nous alors mieux les performances actuelles de Super-ACO. Seuls les dispositifs d’insertions n’ont pas été modélisés.


Super-périodes	4
$νx$ , $νy$	4.725, 1.698
$red ξx$ , $red ξy$	0.275, 0.766
$νs$	0.0034
$αp$	$1.48 × 10−2$
$εx$ (nm.rad)	35
Ouv. Phys. Hori. (mm)	-20+60 (septum)
Ouv. Phys. Vert. (mm)	-15+15 (onduleur)

TAB. 3.7:

Caractéristiques machine nominale de Super-ACO. Les dimensions de l’ouverture physique sont données dans les sections droites de l’anneau.

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FIG. 3.24:

Fonctions optiques sur une super-période de Super-ACO : réglage nominal.

Le point de fonctionnement a pour nombres d’ondes : $νx = 4.725$ et $νy = 1.698$ (cf. tableau 3.7). Les valeurs des chromaticités réduites désormais non nulles, $ξred = 0.275 x$ et $ξred= 0.766 y$ , sont réglées par ajustement des forces de deux familles hexapolaires $H3$ et $H4$ . Les valeurs des courants des quadripôles et hexapôles sont données dans le tableau 3.8 et les fonctions optiques par la ﬁgure 3.24. La fonction dispersion est toujours nulle en dehors des achromats.


Quadripôles	Courant (A)	Gradient normalisé ( $−2 m$ )

Q1	222,25	-1,463349
Q2	400,22	2,606294
Q3	379,77	2,478277
Q4	215,50	-1,418968

Hexapôles	Courant (A)	Force intégrée ( $−3 m$ )

H1	54	0,249077
H2	100	0,461255

TAB. 3.8:

Valeurs expérimentales des courants et champs magnétignes pour les quatre familles de quadripôles (Q1, Q2, Q3, Q4) et les deux familles hexapolaires non chromatiques le point nominal de Super-ACO.

3.2.5.2 Dynamique

Les glissements de nombres d’ondes avec l’amplitude sont donnés en comparaison avec ceux calculés par le code BETA (Fig. 3.25).

L’ouverture dynamique est réduite dans le plan horizontal à -30 mm (cf. Fig. 3.26-b). La carte en fréquence (cf. Fig. 3.26-a, voir aussi la carte en couleur B.5) présente un repliement important, sa lecture est alors diﬃcile. La dynamique est fortement marquée par la résonance d’ordre 3, $3νx−5= 0$ qui limite l’ouverture dynamique verticale à 20 mm. Il faut cependant noter qu’en expérience, l’ouverture dynamique verticale mesurée est bien plus petite, de l’ordre de 12 mm (l’ouverture physique est à 15 mm).

3.2.6 Premières conclusions

Nous avons vu que Super-ACO est une machine singulière de par son faible rayon de courbure, ses champs de fuite et coins dipolaires non négligeables. L’approximation traditionnelle des grandes machines n’est plus valable et l’approximation hard edge n’est plus suﬃsante. Nous avons insisté également à plusieurs reprises sur le fait que le code BETA n’est pas adapté pour réaliser des études d’optimisation de la dynamique à long terme et pour des amplitudes supérieures à environ 20 mm pour une machine telle que Super-ACO, même si l’optique linéaire est toujours bien traitée.

Des cartes en fréquence et ouvertures dynamiques ont été calculées pour diﬀérentes conﬁgurations machines qui juste qu’en l’an 2000 étaient considérées comme reﬂétant la machine en fonctionnement. Cependant, cette étude n’a pas permis d’expliquer correctement certaines observations expérimentales. En eﬀet, l’ouverture dynamique est limitée dans le plan vertical en expérience, la dynamique du faisceau est sensible à une résonance d’ordre 3 ( $3νy = 5$ ). Or nous n’avons pas réussi à conﬁrmer ses observations (à faibles amplitudes) à partir du modèle de l’anneau.

Un problème crucial est de pouvoir arriver à déﬁnir un modèle aussi réaliste que possible de l’anneau de stockage. Ce besoin se justiﬁe, car d’une part, il permettrait de mieux prédire le comportement de la machine réelle et d’autre part de pouvoir rapidement identiﬁer les causes d’une modiﬁcation des performances de l’accélérateur.

Il est utile de dresser un bref tableau des principaux accords et désaccords entre le modèle actuel et l’expérience — en nous restreignant à la seule dynamique transverse —.

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FIG. 3.25:

Glissement des nombres d’ondes $νx$ et $νy$ avec l’amplitude : calculs eﬀectué avec l’intégrateur LIE4 de MAD et l’ordre scaling de BETA sur 1 000 tours de l’anneau Super-ACO. A grande amplitude ( $|x|>20$ mm), le désaccord est ﬂagrant : les lentilles décapolaires ne sont plus correctement prises en compte par le code BETA (la résonance $3νx − 5 = 0$ n’est donc pas observée).

FIG. 3.26:

Super-ACO deuxième quadrant ( $x<0,y > 0$ ) : carte en fréquence et ouverture dynamique pour le point de fonctionnement nominal ( $βx = 5.5$ m et $βy=11.5$ m). La carte en fréquence est très compacte : peu de résonances sont rencontrées. Il est diﬃcile de comprendre avec cette modélisation les observations expérimentales.

Nous disposons d’un excellent modèle de l’optique linéaire : point de fonctionnement, faible battement des fonctions bétatrons, bonne eﬃcacité des correcteurs dipolaires utilisés pour corriger l’orbite fermée.

Les valeurs des coins et champs de fuite des dipôles ont été ajustées sur l’expérience (Level et Nghiem, 1986). La caractérisation nonlinéaire des forces des quadripôles et hexapôles a été faite en 1989 par P. Nghiem, des mesures magnétiques sur banc d’essai à la ﬁn des années 1990 (Barthès et al., 1990). Le glissement des nombres d’ondes avec l’énergie est également en accord avec les mesures expérimentales suite à l’introduction d’une composante décapolaires induites par les hexapôles qui sont créés par un « mauvais dipôle » (Brunelle et al., 1999). Un important travail de caractérisation de l’impact des éléments d’insertion sur la dynamique transverse a été réalisé à Super-ACO (Brunelle, 1992, Sommer et al., 1992)

Par contre, les mesures de durée de vie Touschek, de valeurs de chromaticités, de taille de l’ouverture dynamique et d’acceptance en énergie ne sont pas encore bien comprises.

Nous devons également rappeler que Super-ACO n’est pas équipé de moniteur de position tour par tour ni de perturbateur vertical. Si bien qu’aucune caractérisation de la variation des nombres d’ondes avec l’amplitude n’a été réalisée (nous verrons qu’une des caractéristiques de l’ALS est de disposer d’un grand nombre d’outils de diagnostic et d’exploration de la dynamique de l’anneau).

Dans la seconde partie dédiée aux résultats expérimentaux, nous verrons comment nous pouvons améliorer le modèle de Super-ACO. La première idée sera d’obtenir une estimation réaliste des défauts magnétiques de la machine. Peut-être, qu’à l’image de l’ALS (voir page § sqq.), la dynamique se trouverait fortement modiﬁée. Puis, nous explorerons la dynamique de l’anneau à travers les glissements des nombres d’ondes avec l’amplitude horizontale en utilisant une électrode tour par tour, le perturbateur horizontal et l’Analyse en Fréquence.

3.3 L’ESRF

3.3.1 Optique

L’installation européenne de radiation synchrotron (European Synchrotron Radiation Facility, ESRF [38] et [37]) est actuellement la meilleure source de lumière de troisième génération en termes de performances. Mise en service en 1992 (premiers photons), l’optique possède une périodicité 16, ce qui permet de réduire drastiquement le nombre de résonances permises. La maille suit un schéma Chasman-Green avec dispersion distribuée et des sections droites alternant faibles et grandes fonctions bétatrons (cf. Fig. 3.27). En opération, il est nécessaire de surcompenser les chromaticités à des valeurs légèrement positives. Les principaux paramètres de l’ESRF sont donnés par le tableau 3.9. L’acceptance en énergie mesurée est de $± 2%$ , l’injection est réalisée au voisinage du point $(x= − 19,y = 0)$ mm.


Energie (GeV)	$6$
Circonférence (m)	$844$
Dispersion en énergie	$−4 1 × 10$
Emittance (nm.rad)	$4$
Chromaticités réduites	$0.1$ , $0.4$
Point de fonctionnement	$36.44,14.39$
Ouverture physique (mm)	$− 19∕35$ , $± 4$
Familles hexapolaires	6
Périodicité	16

TAB. 3.9:

Principaux paramètres de l’ESRF

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FIG. 3.27:

Fonctions optiques de l’ESRF

La présente étude est restreinte aux deux jeux hexapolaires nominaux. Expérimentalement, le second semble meilleur pour un fort courant par paquet où la durée de vie est plus courte (communication personnelle de A. Ropert, 1999). Nous allons essayer de le comprendre à travers l’Analyse en Fréquence. L’intégration numérique a été eﬀectuée avec le programme MAD version 8 [50] pour des particules on et oﬀ momemtum, sur deux fois 1 000 tours d’une machine constituée d’une seule super-période, soit 125 tours de machine réelle. Le temps d’amortissement de l’ESRF est d’environ 2 000 tours.

3.3.2 Premier jeu hexapolaire

3.3.2.1 Dynamique on momentum

La ﬁgure 3.28 exhibe l’ouverture dynamique on momentum de l’ESRF ; à première vue, elle semble très grande, irrégulière, fortement marquée par les résonances et dissymétrique : $[−56,42]y=0 × [− 16,16]x=0$ mm ( $βx = 36 m$ et $βy = 2.5m$ ). Néanmoins, ces dimensions sont beaucoup trop optimistes et doivent être réduites. En eﬀet, une analyse plus détaillée de l’intérieur de l’ouverture dynamique révèle de nombreux îlots de résonance.

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FIG. 3.28:

Ouverture dynamique de l’ESRF : premier jeu hexapolaire, section de Poincaré en $s=0$ ( $βx = 35.6m$ et $βy = 2.5 m$ ). Bien que très grande, elle est irrégulière, fortement marquée par les résonances et dissymétrique.

Pour lever tout hypothétique interrogation au sujet des calculs des cartes en fréquence, je rappelle au lecteur que la dynamique de la particule ne change pas si les conditions initiales des particules sont choisies dans le quart de l’espace des conﬁgurations ( $x > 0,y > 0$ ) ou ( $x<0,y> 0$ ).

La lecture d’une carte en fréquence de l’ESRF (Fig. 3.29-a, voir aussi les cartes B.10) est plus délicate que celle de SOLEIL, puisque la carte présente un repliement important. Aﬁn de faciliter la lecture, la carte peut être divisée en deux parties (voir Fig. 3.30) :

première partie : autour du point de fonctionnement (Fig. 3.30-a,b), i.e. le coin supérieur droit qui s’étend jusqu’à des amplitudes de $20$ mm selon $x$ ; les limites sont données par la résonance entière $νx − 36 = 0$ et l’amplitude verticale $y ≈ 7$ mm ; la diﬀusion y est faible. Notons cependant la présence de la résonance d’ordre 5, $3νx− 2νy − 5 × 16 = 0$ atteinte pour $x = 17$ mm dans l’espace des conﬁgurations ( $x= − 20$ mm si l’on considère l’ouverture dynamique négative).
deuxième partie : au-delà (Fig. 3.30-c,d) où le glissement des nombres d’ondes est supérieur à l’unité. Très peu de trajectoires régulières subsistent, l’indice de diﬀusion y est plus important. De nombreuses droites et nœuds de résonances apparaissent d’ordres aussi bien faibles — 4, 5 — qu’élevés — 8,…, 16 — (voir la carte en fréquence Fig. 3.31). Par exemple, toutes les particules ayant leurs conditions initiales vériﬁant $x ∈ [− 41, − 28] ∪ [20, 30]$ mm sont capturées dans l’île de la résonance entière $νx − 36 = 0$ .

Le codage de la diﬀusion sur l’ouverture dynamique met bien en exergue les régions hyperboliques, les régions elliptiques et les résonances. L’injection est réalisée au voisinage de la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ .

Forts de ces résultats, nous pouvons donner des dimensions de l’ouverture dynamique plus réalistes, sachant qu’en pratique une résonance entière ne peut être traversée sans perte signiﬁcative des performances du faisceau : $[− 27, 21]y=0 × [− 7, 7]x=0$ mm, soit une réduction d’un facteur deux dans les deux directions transverses.

Bien évidemment, si l’on prend en compte les défauts multipolaires, la symétrie 16 est brisée, les largeurs de résonance sont plus importantes et risquent de se recouvrir ; la zone de stabilité dans l’espace des fréquences sera encore plus petite.

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FIG. 3.29:

Carte en fréquence (a et c) et ouverture dynamique (b et d) de l’ESRF : premier jeu hexapolaire pour une surface de section en $s = 0$ ( $β = 35.6m x$ et $β = 2.5m y$ ). La dynamique est dominée par la résonance de couplage 3 :-2 :0 et la résonance entière $νx = 36$ . Les zones elliptiques et hyperboliques associées sont nettement identiﬁables sur l’ouverture dynamique (b).

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FIG. 3.30:

Carte en fréquence de l’ESRF séparée en deux parties (a et c) pour faciliter la lecture : premier jeu hexapolaire, pour $s=0$ , ( $βx = 36 m$ et $βy = 2.5m$ ). L’ouverture physique représentée par un rectangle dans l’ouverture dynamique (b et d).

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FIG. 3.31:

Principales résonances pour la dynamique du premier jeu hexapolaire de l’ESRF. Le point de fonctionnement est à l’intersection des droites en pointillés. La dynamique est marquée par la résonance de couplage 3 :-2 :0 et la résonance entière $νx=36$ .

Enﬁn lorsque l’on calcule le glissement des nombres d’ondes avec l’énergie, la résonance entière $νx−36= 0$ risque d’être atteinte plus tôt pour des particules oﬀ-momentum. C’est ce que nous allons maintenant vériﬁer.

3.3.2.2 Dynamique oﬀ momentum

A l’ESRF, la chromaticité est surcompensée à une valeur légèrement positive : $ξrxed = 0.1$ et $ξred=0.4 y$ . Pour diﬀérents écarts à l’énergie nominale, le point de fonctionnement va donc varier avec $δ$ suivant une courbe $2 Δ νu = ξuδ + 𝒪 (δ )$ (Fig. 3.32). En particulier, les résonances vont être atteintes avec des amplitudes diﬀérentes par rapport au cas on momentum. D’autres résonances vont également apparaître puisque d’autres régions de l’espace des fréquences vont être explorées.

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FIG. 3.32:

(a) : Variation de la partie fractionnaire des nombres d’ondes avec l’énergie $δ$ pour le premier réglage de l’ESRF. (b) : Excursion du point de fonctionnement dans l’espace des fréquence pour $− 5% < δ < 5%$ . Les résonances systématiques sont tracées jusqu’à l’ordre 9.

Les cartes en fréquence ont été tracées en balayant à la fois les ouvertures dynamiques positive et négative en $x$ pour des écarts à l’énergie nominale de $± 1%$ , $± 2%$ et $± 3%$ (Fig. 3.33). Nous allons donner une brève description des cartes en fréquence et ouvertures dynamiques (plusieurs nouvelles résonances apparaissent cf. Tab. 3.10) :

$δ=1%$ L’acceptance dynamique diminue (mais reste encore importante). Aussi bien pour les positions $x$ positives que négatives, l’ouverture dynamique est fortement marquée par des résonances (présences d’îles importantes) qui se traduit par des bords irréguliers et des protubérances.
La carte en fréquence est maintenant vraiment irrégulière au-delà de la résonance entière : la diﬀusion est élevée. Que dira-t-on s’il y a quelques défauts qui viennent perturber la dynamique ? Il y aura augmentation de la diﬀusion des orbites.
$δ=2%$ L’ouverture dynamique se détériore de plus en plus au-delà de la résonance entière qui est atteinte à amplitude de plus en plus faible de par le glissement du point de fonctionnement.

$δ=3%$ On observe un trou dans l’ouverture dynamique au voisinage de la résonance entière (comportement hyperbolique) qui est atteinte très tôt. Si l’on ne considère que l’acceptance avant cette résonance, alors elle est très petite : $− 8$ mm, $+ 16$ mm par rapport à la chambre à vide. On observe nettement la « nocivité » de la résonance entière.

FIG. 3.33:

Dynamique oﬀ momentum pour le premier jeu hexapolaire de l’ESRF (Colonne 1 : $δ>0$ , colonne 2 : $δ < 0$ ). Les cartes en fréquence sont profondément modiﬁées entre $δ= − 3%$ et $δ = 3%$ (extension spatiale, repliement, résonances). Le point de fonctionnement se rapproche de la résonance entière qui détruit la dynamique pour $δ > 0$ , alors que pour $δ < 0$ la dynamique est de plus en plus stable. L’ouverture physique est représentée par un rectangle en traits pleins.

$δ= − 1%$ On note l’apparition d’une nouvelle résonance d’ordre 6. La résonance entière n’est plus atteinte. La carte en fréquence « se déplie ». La dynamique est dominée par la résonance d’ordre 5, $3ν − 2ν − 5 × 16 = 0 x y$ .
$δ= − 2%$ L’ouverture dynamique est plus grande qu’à 1% (il n’y a plus la résonance entière). La carte est presque plate. Au voisinage de la résonance $10 νy = 144$ , la dynamique est perturbée.
$δ= − 3%$ L’ouverture dynamique est très grande car à faible amplitude, il y a peu de résonances. Seuls les bords sont fortement irréguliers et incisés par les résonances. Paradoxalement, la dynamique est plus régulière dans ce cas que pour les particules on momentum.


$qνx + pνy + r = 0$	Ordre

$2νx− 4νy − 16 = 0$	1 :-2 :0
$5νx+4 νy − 240 = 0$	5 :4 :-4
$3νx+8 νy − 224 = 0$	3 :8 :-4

TAB. 3.10:

Principales résonances rencontrées à $δ ⁄= 0$ pour le premier réglage hexapolaire de l’ESRF. Voir aussi les cartes en fréquence (Fig. 3.33) pour $− 3% < δ < 3%$ .

3.3.2.3 Conclusion préliminaire

La dynamique est très altérée par les résonances qui détériorent fortement la dynamique (diﬀusion élevée). Les deux résonances principales sont la résonance d’ordre 5 au voisinage de laquelle est faite l’injection et la résonance entière qui va réduire l’ouverture dynamique. Si l’on fait l’hypothèse que cette résonance ne peut pas être traversée, alors l’acceptance dynamique peut limiter la durée de vie du faisceau comme nous allons le voir.

3.3.2.4 Durée de vie Touschek

Dans un anneau de stockage, le faisceau a une durée de vie ﬁnie du fait des diﬀérents mécanismes de perte : excitation quantique, diﬀusions simples ou multiples entre les électrons, diﬀusions sur les atomes du gaz résiduel. Pour les sources de lumière de troisième génération (faible émittance) comme l’ESRF, la durée de vie est déterminée principalement par la durée de vie Touschek que nous allons déﬁnir. Lors d’une collision entre deux électrons d’un même paquet, une partie de leurs moments transverses est transférée en moments longitudinaux. Si ces transferts sont plus grands que l’acceptance en énergie donnée par le système RF, les électrons sont perdus après la collision. De plus, les électrons diﬀusés qui restent à l’intérieur de l’acceptance longitudinale peuvent aussi être perdus dans le plan transverse dû à la limite de l’ouverture physique ou dynamique pour l’écart en énergie considéré.

La durée de vie Touschek a été calculée en mode multipaquets et en mode faible nombre de paquets qui sont deux des principaux modes de fonctionnement de l’ESRF. Les paramètres adoptés pour les calculs avec le logiciel BETA sont donnés par le tableau 3.11.

Les calculs ont été faits en approximation linéaire et nonlinéaire et sont présentés dans le tableau 3.12. Dans chaque cas, nous avons pris comme longueur de paquet la longueur naturelle $σl$ à courant nul ; en fonctionnement réel, le paquet s’allonge, e.g. d’un facteur 3 à 16 mA par paquet et la durée de vie est environ trois fois plus grande (Besnier, Laclare, Limborg, 1996). En approximation linéaire, la durée de vie Touschek ( $T 1 2$ ) est donnée par la formule classique (voir par exemple Le Duﬀ, 1995 ou chap. XXX de Bruck, 1966) :

	= D(ξ), ξ = ²	(3.2)
D(ξ)	=

avec $σx$ , $σy$ les dimensions transverses et $′ σ x$ la divergence horizontale du faisceau, $εacc$ l’acceptance en énergie de la machine, $re = 2.8 × 10−15$ m le rayon classique de l’électron, $N$ le nombre d’électrons par paquet.

Pour le calcul dit nonlinéaire, nous avons pris en compte l’orbite fermée chromatique nonlinéaire et la dépendance en l’énergie des fonctions optiques. Pour une description détaillée, le lecteur peut se reporter à la méthode développée pour SOLEIL (Nadji et al., 1997).


Fréquence RF	$fRF$ (MHz)	352.2
Nombre d’harmonique	h	992
Dispersion en énergie	$σE$	$1.05 × 10− 3$
Intensité faib. nb. paquets	$I1$ (mA)	15
Nombres d’électrons par paquet	$N1$	$11 2.8 × 10$
Intensité multipaquet	$I2$ (mA)	$662 × 0.302$
Nombres d’électrons par paquet	$N2$	$5.3 × 109$
Tension RF	$VRF$ (MV)	8–12
Couplage	$χ$ (%)	1

TAB. 3.11:

Paramètres pour le calcul de la durée de vie Touschek pour deux des principaux modes de fonctionnement de l’ESRF : (1) multipaquets et (2) faible nombre de paquets.


			Multipaquets		Faible nombre de paquets

$VRF$ (MV)	$εRF$ (%)	$σl$ (mm)	$Tltoinus$ (h)	$Ttous$ (h)	$Ttlionus$ (h)	$Ttous$ (h)

8	3.38	4.7	231	172	4.4	4.27
9	4.03	4.3	378	238	7.1	5.89
10	4.60	4.0	555	288	10.5	6.44
11	5.13	3.8	760	320	14.4	7.41
12	5.61	3.6	947	337	17.9	7.63

TAB. 3.12:

Modes multipaquets et faible nombre de paquets : durée de vie Touschek pour le premier réglage de l’ESRF en calcul linéaire et nonlinéaire pour une tension RF comprise entre 8 MV et 12 MV . Pour chaque tension, l’acceptance RF ( $εRF$ ) et la longueur naturelle du paquet ( $σ l$ ) sont également données.

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FIG. 3.34:

Durée de vie Touschek ( $T$ ) en fonction de la tension RF ( $VRF$ ) pour le premier réglage de l’ESRF en mode multipaquets (a) et faible nombre de paquets (b). Une saturation de la durée de vie est observée pour les calculs en mode nonlinéaire (cercles) par rapport au calcul linéaire (carrés).

De manière générale, la durée de vie Touschek est limitée soit par l’acceptance physique, soit par l’acceptance dynamique ou soit par l’acceptance en tension RF. Pour ces calculs, nous avons inclus les dimensions de l’ouverture dynamique oﬀ momentum (cf. Fig. 3.35).

A 8 MV, nous constatons que la tension RF est limitative ( $εVRF = 3.4%$ ) alors qu’à 12 MV c’est l’acceptance physique ( $ε = 5.6% VRF$ ) et même l’acceptance dynamique si toute la dynamique au-delà de la résonance entière est négligée.

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FIG. 3.35:

Variation de l’ouverture dynamique horizontale ( $xmax$ ) de l’ESRF avec l’énergie ( $δ$ ) pour le premier réglage hexapolaire. Les dimensions (carrés) sont données par rapport à l’orbite fermée. En supposant que la résonance entière $νx − 36 = 0$ limite l’ouverture dynamique, les dimensions (cercles) sont restreintes pour $δ > 0$ . Ces dimensions sont prises en compte pour le calcul de la durée de vie Touschek en mode nonlinéaire.

Dans tous les cas, il est absolument nécessaire prendre en compte le second ordre pour calculer la durée de vie Touschek. En eﬀet, au-delà de 8 MV, les résultats obtenus par les calculs linéaire et nonlinéaire sont très diﬀérents ; cette diﬀérence atteint un facteur 3 à 12 MV (cf. Fig. 3.34).

3.3.3 Second jeu hexapolaire

Le second jeu hexapolaire est une tentative d’optimisation du point de fonctionnement précédent (pas d’améliorations expérimentales notables sauf à fort courant¹⁸). Seule la pente à l’origine de la courbe en fréquence est modiﬁée de $− 2.3 × 104$ à $− 8.4 × 103$ en modiﬁant les réglages hexapolaires. Cependant la dynamique du faisceau est complètement modiﬁée (cf. Fig. 3.36). Nous nous attarderons sur la comparaison des deux optiques.

3.3.3.1 Dynamique on momentum

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FIG. 3.36:

Ouverture dynamique : second jeu hexapolaire de l’ESRF pour $s = 0$ , ( $βx=35.6 m$ et $βy = 2.5 m$ ). Elle est toujours très dissymétrique mais plus régulière que pour le premier jeu hexapolaire.

L’ouverture dynamique (cf. Fig. 3.36) est encore plus grande que celle obtenue pour le premier réglage (cf. Fig. 3.28) : $[− 80,45]y=0 × [− 15,15]x=0$ mm, plus régulière mais elle est toujours surestimée. Comme précédemment, la carte en fréquence (Fig. 3.37, voir aussi les cartes en couleur B.11) présente un repliement et peut être scindée en deux parties (Fig. 3.38) :

première partie (Fig. 3.38-a,b) correspondant aux amplitudes initiales $[− 30, 20] × [− 8, 8]$ mm dans l’espace des conﬁgurations, avec un glissement des nombres d’ondes très faible ( $Δ νx ≈ 0.2, Δ νy ≈ 0.1$ ). Cette partie est extrêmement régulière et pratiquement exempte de résonances avec peu de diﬀusion.
seconde partie(Fig. 3.38-c,d) qui est fournie en résonances ; les principales résonances sont données par la ﬁgure 3.39. Bien que la résonance entière $νx − 36 = 0$ ne soit jamais atteinte, la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ est déjà fortement excitée pour une machine idéale puisqu’elle capture toutes les particules de conditions initiales $x ∈ [− 74, − 42] ∪ [32, 35]$ mm.

De manière générale pour ce réglage, la dynamique est moins « compliquée » et beaucoup plus stable. Le glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude est plus faible, si bien que la résonance $3νx−2νy − 5 × 16 = 0$ est atteinte à une amplitude $x ≈ 32$ mm soit aussi grande que l’ouverture physique ( $x ≈ 17$ mm pour le premier réglage hexapolaire).

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FIG. 3.37:

Carte en fréquence et ouverture dynamique calculées pour le second réglage hexapolaire de l’ESRF pour une surface de section à $s = 0$ ( $βx = 36m$ et $βy = 2.5 m$ ). La dynamique est dominée par la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ . La diﬀusion (niveaux de gris) est assez faible avec une grande ouverture dynamique.

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FIG. 3.38:

Carte en fréquence de l’ESRF séparée en deux parties (a et c) pour faciliter la lecture : second réglage hexapolaire, pour $s = 0$ , ( $βx=36m$ et $βy = 2.5m$ ). L’ouverture physique représentée par un rectangle dans l’ouverture dynamique associée (b et d).

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FIG. 3.39:

Principales résonances identiﬁées sur la carte en fréquence correspondant au second réglage hexapolaire de l’ESRF. Le point de fonctionnement est à l’intersection des deux droites en traits pointillés. La carte en fréquence est repliée sur elle-même (voir aussi Fig. 3.38).

Deux orbites particulières ont été intégrées pour illustrer la diﬀusion au voisinage d’une résonance dans une zone de mouvement régulier et irrégulier (Fig. 3.40-a,b) :

La première orbite (O1) correspond aux conditions initiales $(x ,y ) = (15.81,8.05) 0 0$ mm avec pour nombres d’ondes initiaux $(ν0x,ν0y) = (36.3728,14.3728 )$ . L’intégration est réalisée sur 1 million de tours, les fréquences sont recalculées tous les 1 000 tours ; la particule oscille rapidement transversalement à la résonance $νx − νy − 22 = 0$ et lentement longitudinalement (voir aussi Fig. 3.39).

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FIG. 3.40:

Exemple de diﬀusion d’orbites (a) pour le second réglage de l’ESRF. La première orbite (O1) est intégrée sur 1 million de tours ; la particule oscille rapidement transversalement à la résonance $νx − νy − 22 = 0$ et lentement longitudinalement. La seconde orbite (O2) reste piégée 15 000 au voisinage de la résonance $11 : − 10 : 0$ avant de diﬀuser rapidement dans la zone chaotique de la carte en fréquence. La variation de ses nombres d’ondes avec le nombre de tours $N$ est tracée (b) jusqu’à sa perte au bout de 38 000 tours.

La seconde orbite (O2) est perdue au bout de 38 026 tours de l’anneau. Ses conditions initiales en amplitudes et en fréquences sont $(x0,y0) = (19.37, 9.86 )$ mm et $(ν0x,ν0y) = (36.3216, 14.3520)$ , soit au voisinage de la résonance $11νx − 10νy − 16 × 16 = 0$ . La particule y reste environ 15 000 tours avant de diﬀuser rapidement L’évolution de la partie fractionnaire des nombres d’ondes avec le nombre de tours est donné par la ﬁgure 3.40-b.

3.3.3.2 Dynamique oﬀ momentum

Comme pour le premier réglage, les valeurs réduites des chromaticités sont légèrement positives ( $red ξx=0.1$ et $red ξy = 0.4$ ). Le glissement des nombres d’ondes avec l’énergie $δ$ est illustré par la ﬁgure 3.42.

Les cartes en fréquence ont été tracées pour des écarts à l’énergie nominale compris entre $−3%$ et $3%$ (Fig. 3.41) en considérant toujours une machine parfaite.

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FIG. 3.41:

Dynamique oﬀ momentum pour le second jeu hexapolaire de l’ESRF (colonne 1 : $δ>0$ , colonne 2 : $δ < 0$ ). Les cartes en fréquence sont profondément modiﬁées entre $δ= − 3%$ et $δ = 3%$ (extension spatiale, repliement, résonances). Pour $δ > 0$ , la dynamique est dominée par la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ qui est atteinte à des amplitudes de plus en plus faibles.

L’ouverture dynamique diminue avec $δ$ (cf. Fig. 3.43) ; cette diminution est plus importante pour des écarts à l’énergie positifs.

L’allure et le repliement des cartes varient beaucoup avec $δ$ . Pour de grands écarts en énergie, les cartes sont pratiquement « plates » ; notons cependant que pour $δ = 2%$ , les nombres d’ondes diminuent avec l’amplitudes (distances au centre du faisceau) alors que pour $δ = − 2%$ , ils augmentent avec l’amplitude.

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FIG. 3.42:

Second réglage hexapolaire de l’ESRF : variation de la partie fractionnaire des nombres d’ondes avec l’énergie $δ$ .

Pour $δ > 0$ , la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy = 80$ est atteinte beaucoup plus tôt, et surtout, la résonance $νx = 36$ , systématique d’ordre 4 et destructive ici, limite la dynamique ; ce qui explique la diminution drastique de plus de 50 % de l’ouverture dynamique entre 0% et +2%. Par contre au-delà de +3%, la résonance $νx = 36$ n’est plus destructive pour une machine idéale : l’ouverture dynamique est de nouveau plus grande (frontière 2.3%).

Pour $δ < 0$ , de nouvelles résonances de couplages (Tab. 3.13) apparaissent de par le déplacement du point de fonctionnement avec l’énergie.

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FIG. 3.43:

Second réglage de l’ESRF : variation de l’ouverture dynamique horizontale avec l’énergie ( $δ$ ). Les dimensions sont données par rapport à l’orbite fermée. Elles sont prises en compte pour le calcul de la durée de vie Touschek en mode nonlinéaire.


$p νx + q νy + r = 0$	Ordre

$νx − 36 = 0$	1 :0 :0
$4νx + 1νy − 10 × 16 = 0$	4 :1 :2
$1νx − 2νy − 8 = 0$	1 :-2 :0
$7ν − 16 × 16 = 0 x$	7 :0 :4
$5νx + 2νy − 13 × 16 = 0$	5 :2 :0
$7νx − 2νy − 14 × 16 = 0$	7 :-2 :0
$11νx − 25 × 16 = 0$	11 :0 :4
$νx + 12νy − 13 × 16 = 0$	1 :12 :4

TAB. 3.13:

Résonances identiﬁées sur les cartes en fréquence oﬀ momentum à $δ ⁄= 0$ pour le deuxième réglage hexapolaire de l’ESRF.

3.3.3.3 Conclusion préliminaire

Comme annoncé précédemment, les résonances $3νx − 2νy = 80$ et $νx = 36$ ont une grande amplitude qu’il faudrait essayer de réduire pour améliorer l’ouverture dynamique pour $δ>0$ .

Pour $δ ⁄= 0$ , l’extension des cartes en fréquence est plus importante que pour l’énergie nominale. D’autres résonances vont alors dominer dans la dynamique aux diﬀérentes amplitudes.

L’acceptance dynamique diminue avec $δ$ , mais dans le pire des cas elle reste comparable avec l’acceptance physique.

La surcompensation de la chromaticité a l’inconvénient majeur de compliquer l’optimisation, puisque les points de fonctionnement dépendent fortement de l’énergie de la particule. Idéalement, il faudrait pouvoir optimiser la dynamique aux diﬀérentes énergies.

3.3.3.4 Durée de vie Touschek

La durée de vie Touschek est calculée de la même manière que pour le premier réglage hexapolaire. Les résultats sont rassemblés dans le tableau 3.14 (voir aussi les ﬁgures 3.44-a et b).


			Mode multipaquets		Mode faible nombre de paquets

$VRF$ (MV)	$εRF$ (%)	$σl$ (mm)	$Tltoinus$ (h)	$Ttous$ (h)	$Ttlionus$ (h)	$Ttous$ (h)

8	3.38	4.7	231	225	4.4	4.2
9	4.03	4.3	377	313	7.1	5.9
10	4.60	4.0	555	378	10.1	7.1
11	5.13	3.8	760	418	14.3	7.9
12	5.61	3.6	947	440	17.9	8.3

TAB. 3.14:

Modes multipaquets et faible nombre de paquets : durée de vie Touschek pour le second réglage hexapolaire de l’ESRF en calcul linéaire et nonlinéaire pour une tension RF comprise entre 8 MV et 12 MV. Pour chaque tension, l’acceptance RF ( $εRF$ ) et la longueur naturelle du paquet ( $σ l$ ) sont également données.

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FIG. 3.44:

Durée de vie Touschek pour le second réglage de l’ESRF en mode multipaquets (a) et faible nombre de paquets (b). Une saturation de la durée de vie est observée pour les calculs en mode nonlinéaire (cercles) par rapport au calcul linéaire (carrés) et donnent des résultats deux fois plus faibles à 12 MV.

En comparant les durées de vie Touschek obtenues pour les deux réglages hexapolaires de l’ESRF (Fig. 3.34 et Fig. 3.44), nous constatons que le second réglage est meilleur. Ce résultat se comprend bien si l’on se rappelle que la dynamique oﬀ momentum du premier réglage est fortement marquée par la résonance entière $νx − 36 = 0$ , si bien qu’il faut prendre en compte dans les calculs l’ouverture dynamique oﬀ momentum qui est alors le facteur limitatif. Ces résultats tendraient à corroborer les mesures expérimentales. Il faut toutefois reconnaître que les durées de vie mesurées sont bien plus faibles.

3.3.4 Conclusions sur les deux réglages nominaux

Pour le point de fonctionnement $(νx, νy) = (36.44, 14.39)$ la dynamique du deuxième jeu hexapolaire semble être la plus « stable » : peu de résonances au voisinage du point de fonctionnement, faible diﬀusion, ouverture dynamique plus grande que l’acceptance physique jusqu’à $δ=±3%$ .

Pour le premier jeu hexapolaire, nous constatons qu’il y a plus de résonances qui induisent une diﬀusion globalement plus importante. La dynamique est fortement perturbée par la résonance entière. Si nous faisons l’hypothèse que celle-ci limite l’ouverture dynamique, la durée de vie Touschek serait alors réduite.

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FIG. 3.45:

Cartes en fréquence pour le point de fonctionnement historique de l’ESRF pour les deux réglages hexapolaires choisis (a et b). Le point de fonctionnement est beaucoup trop proche des résonances entières : la zone eﬀective de stabilité est petite, l’injection est réalisée au voisinage de résonances et la diﬀusion des orbites est globalement très élevée.

Le point de fonctionnement historique de l’ESRF avait pour nombres d’ondes $(νx,νy)= (36.2, 14.3)$ . Une étude a également été faite pour comprendre pourquoi les performances de l’anneau étaient bien trop faibles pour les deux réglages hexapolaires nominaux. En fait la dynamique est globalement plus mauvaise, car la résonance entière, plus proche du point de fonctionnement, est atteinte à plus faible amplitude. Les cartes en fréquence pour les deux réglages hexapolaires (cf. Fig. 3.45) sont peuplées de résonances avec une diﬀusion des orbites très élevée et des ouvertures dynamiques petites. Pour le premier jeu hexapolaire (cf. Fig. 3.45-a), la dynamique est « catastrophique » : le point de fonctionnement est trop proche des résonances entières $νx = 36$ et $νy = 14$ , résonances qui sont les premières à éviter lorsque l’on choisi le point de fonctionnement d’un accélérateur. L’auteur est perplexe et ne comprend pas quels critères ont pu amener à ce choix. Le point de fonctionnement actuel de l’ESRF, choisi à la suite de discussion avec le groupe faisceau du projet SOLEIL, diﬀère uniquement par l’éloignement de la résonance entière $νy=14$ .

3.4 L’ALS

La Source de Lumière Avancée du Ernest Orlando Lawrence Berkeley National Laboratory (Advanced Light Source, ALS [3] et [4]) a eu sa première lumière en 1993. Mise en service juste après l’ESRF, son énergie est plus basse, 1.5–1.9 GeV contre 6 GeV, elle est donc plus optimisée pour les rayons UV et « X-mou ».

Une première étude théorique de l’ALS avec l’Analyse en Fréquence a été réalisée dès 1993 par Dumas et Laskar. Le point de fonctionnement actuel de l’ALS est très voisin de celui proposés en 1996 par Laskar et Robin.

3.4.1 Optique

L’ALS a une périodicité 12, sa maille est construite sur une structure triple bend achromat (TBA) avec symétrie centrale (cf. fonctions optiques Fig. 3.46). Les nonlinéarités sont introduites par les deux uniques familles d’hexapôles utilisées pour corriger la chromaticités à des valeurs légèrement positives, $(ξrxed, ξryed) = (0.5, 1)$ (cf. Tab. 3.15). Les logiciels DESPOT [42] et TRACY2 [11] ont été utilisés pour intégrer les particules « test » sur deux fois 1 000 tours, i.e. deux fois un vingtième du temps d’amortissement de l’anneau.


Energie (GeV)	1.5–1.9
Circonférence (m)	196.8
Emittance (nm.rad)	$4$
Chromaticités naturelles	$− 24.6$ , $− 26.7$
Chromaticités réduites	$0.5$ , $1.0$
Point de fonctionnement	$14.25,8.18$
Ouverture physique (mm)	$25$ , $± 2.5$

TAB. 3.15:

Paramètres nominaux de l’ALS

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FIG. 3.46:

Une des douze cellules TBA de l’ALS

3.4.2 Dynamique

Nous avons commencé par étudier une maille parfaite de l’ALS. L’anneau a alors sa périodicité 12 permettant de réduire grandement le nombre de résonances permises. Il s’ensuit que l’ouverture dynamique est très grande $[0, 22] × [0, 10]$ mm alors qu’expérimentalement, le faisceau commence a être perdu dès l’amplitude $x ≈ 11$ mm (cf. Fig. 3.47).

Contrairement autres machines étudiées, la carte en fréquence est très simple sans repliement : le point de fonctionnement $(νx, νy) = (14.25, 8.18)$ est le coin supérieur droit de la carte en fréquence 3.47. Le bord supérieur (respectivement inférieur) de la carte correspond à la variation des nombres d’ondes avec l’amplitude pour $x = 0$ (respectivement $y = 0$ ). L’ensemble des résonances principales identiﬁées est donné par la ﬁgure 3.48. Les deux résonances les plus néfastes pour la dynamique sont la résonance entière $νx = 8$ et la résonance de couplage¹⁹ $νx−νy− 6 = 0$ . Loin du point de fonctionnement, les largeurs de résonance se recouvrent induisant des mouvements de nature chaotique avec une diﬀusion élevée. C’est également vrai sur les bords de l’ouverture dynamique (cf. Fig. 3.47, voir aussi la carte en couleur B.12).

FIG. 3.47:

Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) calculées pour une maille parfaite de l’ALS pour la surface de section $s = 0$ ( $βx = 11.3 m$ et $βy=4.0 m$ ). La diﬀusion permet de nettement distinguer le réseau de résonance sur les deux ﬁgures.

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FIG. 3.48:

Carte en fréquence de l’ALS sans défaut magnétique avec les principales résonances pour la surface de section $s = 0$ ( $βx = 11.3 m$ et $β=4.0m y$ ). Le point de fonctionnement est à l’intersection des lignes en traits pointillés. Les résonances les plus néfastes pour la dynamique sont la résonance de couplage 1 :-1 :0 et la résonance entière $νy=8$ qui ne sera jamais traversée en pratique.

3.4.3 Vers un modèle plus réaliste (I)

Une maille plus réaliste de l’ALS peut être modélisée en prenant en compte les erreurs de gradients déduites de l’analyse de la matrice-réponse²⁰ non couplée (Robin, Safranek et Decking, 1998 et 1999) en utilisant le programme LOCO (Safranek, 1997). Les matrices-réponse de l’anneau sont mesurées chaque semaine pour déterminer si l’optique de la machine a changé ou non de manière signiﬁcative. Les défauts mesurés sur les forces quadripolaires correspondent en moyenne à des variations de 0.36% rms des valeurs nominales pour les quadripôles défocalisants et 0.2% rms pour les quadripôles focalisant ; ces variations sont loin d’être négligeables et vont induire de profondes modiﬁcations de la dynamique.

Les nouvelles carte en fréquence et ouverture dynamique sont données par la ﬁgure 3.49 (voir aussi la carte en couleur B.13) : la dynamique globale est complètement modiﬁée, la 12-périodicité brisée, donc la condition de résonance est beaucoup moins sévère. En particulier la résonance entière $νx = 8$ est excitée par les défauts quadripolaires comme la théorie le prévoit (voir par exemple chap. II in Accelerator Physics, Lee, 1998) et toutes les orbites dans son voisinage et à plus grandes amplitudes sont instables (quelques centaines de tours).

Les nouvelles dimensions de l’ouverture dynamique sont maintenant $[0, 12] × [0, 8]$ mm. L’ouverture dynamique horizontale est maintenant plus petite que l’ouverture physique (cf. Tab. 3.15). En eﬀet dans le plan horizontal, elle est limitée par la résonance de couplage $νx − 2 νy + 2 = 0$ . Expérimentalement, en utilisant un scraper²¹ horizontal ou en déplaçant le faisceau, nous retrouvons une ouverture dynamique similaire (Decking et Robin, 1999).

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FIG. 3.49:

Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) de l’ALS : maille avec défauts quadripolaires mesurés pour un surface de section en $s=0$ ( $βx = 11.3 m$ et $βy = 4.0m$ ). La 12-périodicité de l’anneau est brisée, l’extension spatiale de la carte en fréquence est réduite d’un facteur 2 dans le plan vertical.

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FIG. 3.50:

Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) de l’ALS ( $βx=11.3 m$ et $βy = 4.0 m$ ) : inﬂuence d’un couplage eﬀectif de 1% ajusté à partir des quadripôles tournés. La diﬀusion est globalement plus élevée. Seule la région voisine du point de fonctionnement reste régulière.

L’extension de la carte en fréquence est réduite verticalement d’un facteur deux. Les résonances d’ordre 5 sont excitées : $4νx + νy − 65 = 0$ , $3νx + 2νy − 59 = 0$ et $2νx + 3νy − 53 = 0$ , ce sont des résonances non permises par la 12-périodicité (cf. Fig. 3.51).

De manière générale, la zone de stabilité est réduite au voisinage du point de fonctionnement. Toutes les particules ayant un indice de diﬀusion inférieur à moins six seront sans doute perdues si l’on intègre les trajectoires plus longtemps.

3.4.4 Vers un modèle plus réaliste (II)

Le modèle de l’ALS peut encore être aﬃné en introduisant du couplage modélisé par des erreurs de gradients de quadripôles tournés. Ces défauts sont également déduits des mesures de matrices-réponses couplées (Robin, Safranek, Decking, 1999) pour avoir un couplage eﬀectif de 1%. Les écarts en valeur rms sont de l’ordre de 0.3%.

Il apparaît clairement à la lecture de la nouvelle carte en fréquence (cf. Fig. 3.50 à comparer avec Fig. 3.49, voir aussi la carte en couleur B.14) que la dynamique est encore plus instable : la diﬀusion est plus élevée, les largeurs de résonances sont plus grandes ; la majorité des orbites situées sur la carte en fréquence à gauche de la résonance d’ordre 5, $4νx + νy − 65 = 0$ ont un coeﬃcient de diﬀusion très élevé ( $D > − 2$ ) : les lignes de résonances sont moins lisibles dénotant la superposition des largeurs de résonances. Les particules peuvent plus facilement et rapidement diﬀuser, toute structure régulière est perdue. En fonctionnement réel, la dynamique du faisceau de l’ALS est certainement encore moins stable : en eﬀet d’autres défauts magnétiques ainsi que l’inﬂuence de la dynamique longitudinale ont été négligés dans cette étude. La résonance $4νx+νy− 65 = 0$ peut être considérée comme limitant l’ouverture dynamique (cf. Fig. 3.51).

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FIG. 3.51:

Carte en fréquence de l’ALS avec les erreurs de gradients des quadripôles droits et tournés. Le point de fonctionnement est à l’intersection des lignes en traits pointillés. Des résonances d’ordre 5 non permise par la périodicité sont excitées par les défauts magnétiques, la diﬀusion est très élevée (cf. zones irrégulières).

3.4.5 Dynamique oﬀ momentum

La dynamique oﬀ momentum de l’ALS n’a pas été étudiée de manière exhaustive. Elle a pourtant un rôle déterminant sur la durée de vie du faisceau. Les ﬁgures 3.52 représentent la variation des nombres d’ondes en fonction de l’énergie, $νu = f(δ)$ ainsi que la variation du point de fonctionnement dans l’espace des fréquences. Les cartes en fréquence (Fig. 3.53) ont été tracées pour une machine idéale 12-périodique et pour des écarts à l’énergie nominale $δ=±1%,±2%, ±3%$ . En s’appuyant sur la comparaison des cartes en fréquence 3.47, 3.49 et 3.50 le lecteur pourra aisément prédire l’évolution des cartes en fréquence 3.53 si les défauts magnétiques mesurés sont incorporés au modèle.

Nous donnons quelques indices de lecture de ces cartes en fréquence. L’introduction des défauts magnétiques ne peut que détériorer la dynamique du faisceau. S’ils sont suﬃsamment élevés, comme nous l’avons vu, alors la 12-périodicité de l’anneau est brisée. Les résonances non permises vont en particulier être plus excitées. Ceci se traduit par l’augmentation des largeurs des résonances et une plus grande probabilité de recouvrement des résonances, siège du chaos. Cette détérioration globale de la dynamique est d’autant plus importante que les particules oscillent avec de plus grandes amplitudes.

Une des caractéristiques de l’Analyse en Fréquence est sa capacité de prédiction lorsque l’on lit une carte en fréquence. Par exemple, la dynamique oﬀ momentum de l’ALS est déjà, pour une machine idéale, fortement marquée par le nœud entre les résonances $νx − 4νy + 18 = 0$ , $5ν+2ν − 87 = 0 xy$ et $6ν − 2ν − 69 = 0 x y$ (cf. carte 3.53 pour $δ = − 3%$ ) et le nœud entre les résonances $6 νx + 4 νy − 117 = 0$ , $νx − νy − 6 = 0$ et $2νx + 8νy − 93 = 0$ (cf. carte pour $δ=+3%$ ). Toute la dynamique en leur voisinage respectif et aux amplitudes plus élevées sera instable pour la machine réelle.

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FIG. 3.52:

(a) : Variation de la partie fractionnaire des nombres d’ondes de l’ALS en fonction de l’énergie ( $δ$ ). (b) : Déplacement du point de fonctionnement dans le diagramme des résonances tracées jusqu’à l’ordre 7.

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FIG. 3.53:

Dynamique oﬀ momentum (colonne 1 $δ > 0$ , colonne 2 $δ < 0$ ) de l’ALS considérée comme machine idéale. Pour $δ > 0$ la résonance de couplage 1 :-1 :0 est atteinte pour des amplitudes de plus en plus faibles. Ceci est bien conﬁrmé expérimentalement. Les cartes en fréquence ne présentent pas de repliement, car il n’y a que deux familles d’hexapôles utilisées pour ajuster les chromaticités.

3.4.6 Conclusion

L’ALS est une machine relativement « simple ». Les cartes en fréquence sont « plates » sans repliement. Il n’y a que deux familles d’hexapôles utilisées pour ajuster la chromaticité. En contrepartie, si la dynamique est très nonlinéaire, le seul recourt est de déplacer le point de fonctionnement dans une région du diagramme des résonances vierge de résonance. Il n’existe pas de famille hexapolaire pour réduire les largeurs des résonances. L’Analyse en Fréquence permet de mettre en évidence clairement toutes les résonances principales, en particulier les résonances de couplage (couplées) non vues ni étudiées dans les processus d’optimisation traditionnels.

Pour étudier l’inﬂuence des défauts magnétiques sur la dynamique globale du faisceau, on procède habituellement par tirages aléatoires de jeux de défauts (méthodes statistiques, Méthode de Monte Carlo). Cette méthode est très coûteuse en termes de temps de calcul mais est la seule possible lorsque la machine n’est pas encore construite.

La méthode que nous avons retenue est d’utiliser les défauts magnétiques mesurés sur l’anneau de stockage — uniquement possible si la machine est en fonctionnement —. Cette méthode ne nécessite qu’un seul jeu de défaut et donne des résultats très satisfaisants comme nous l’avons vu pour l’ALS

Les cartes en fréquence calculées pour l’ALS permettent d’expliquer un certain nombre de résultats expérimentaux, en particulier l’eﬃcacité de l’injection ; la prise en compte de la dynamique oﬀ momentum devrait permettre d’obtenir des durées de vie s’approchant des mesures expérimentales. Les dimensions de l’ouverture dynamique déduite de cette étude sont compatibles avec les mesures sur l’anneau. Ce dernier point est également remarquable, car généralement l’écart entre théorie et expérience est souvent supérieur à un facteur deux sur la plupart des sources de lumière (e.g. à l’ESRF). D’autres résultats plus spectaculaires ont été obtenus sur l’ALS. Je renvoie le lecteur à la partie expérimentale de cette thèse (chapitre suivant).

Je voudrais insister sur le fait que ces premiers résultats n’ont été possibles que parce qu’au préalable un long travail de caractérisation de la machine avait été réalisé. L’ALS est un anneau de stockage équipé d’un grand nombre d’outils de diagnostic prévus dès la construction : moniteurs de position tour par tour, aimants rapides permettant de perturber le faisceau sur un seul tour de machine, perturbateurs horizontal et vertical. Ce sont les « yeux et les oreilles » du physicien des accélérateurs. Il est ainsi possible d’explorer la dynamique du faisceau. A cela, il convient d’ajouter que chaque année, de nombreuses heures ont été et sont encore réservées uniquement à l’amélioration de la modélisation de l’anneau.

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Chapitre 3Analyse en Fréquence et Sources de Lumière

Introduction

3.1 Le Projet SOLEIL

3.1.1 Optique

3.1.2 Dynamique

3.1.2.1 Optique faible émittance numéro 1

3.1.2.2 Optique faible émittance numéro 1 modiﬁée

3.1.2.3 Optique faible émittance numéro 2

3.1.2.4 Conclusion sur les optiques de SOLEIL

3.2 Super-ACO

3.2.1 Introduction

3.2.2 Description d’une maille

3.2.3 Choix du logiciel de tracking

3.2.3.1 Symplecticité et champ de fuite avec le code BETA

3.2.3.2 Symplecticité et faible rayon de courbure

3.2.3.3 Notes sur l’ordre scaling de BETA

3.2.4 Machine idéale

3.2.4.1 Optique

3.2.4.2 Dynamique

3.2.4.3 Défauts de gradients des quadripôles droits

3.2.5 Machine nominale

3.2.5.1 Optique

3.2.5.2 Dynamique

3.2.6 Premières conclusions

3.3 L’ESRF

3.3.1 Optique

3.3.2 Premier jeu hexapolaire

3.3.2.1 Dynamique on momentum

3.3.2.2 Dynamique oﬀ momentum

3.3.2.3 Conclusion préliminaire

3.3.2.4 Durée de vie Touschek

3.3.3 Second jeu hexapolaire

3.3.3.1 Dynamique on momentum

3.3.3.2 Dynamique oﬀ momentum

3.3.3.3 Conclusion préliminaire

3.3.3.4 Durée de vie Touschek

3.3.4 Conclusions sur les deux réglages nominaux

3.4 L’ALS

3.4.1 Optique

3.4.2 Dynamique

3.4.3 Vers un modèle plus réaliste (I)

3.4.4 Vers un modèle plus réaliste (II)

3.4.5 Dynamique oﬀ momentum

3.4.6 Conclusion

Chapitre 3
Analyse en Fréquence et Sources de Lumière