Application fréquence

2.2.2 Application fréquence

Pour l’écriture de cette partie, je me suis inspiré des articles de J. Laskar décrivant de manière exhaustive la méthode d’Analyse en Fréquence (1992, 1993, 1994 et 1999).

Pour décrire la méthode d’Analyse en Fréquence, nous allons d’abord nous placer dans le cas général d’un système Hamiltonien autonome à $n$ degrés de liberté écrit sous la forme :

ℋ = ℋ0 + εℋ1

(2.61)

où $ℋ0$ représente la partie intégrable du mouvement et $ℋ1$ un terme de perturbation — dans le cadre de la dynamique d’un accélérateur, nous avons vu au cours du chapitre 1 (page §) que $ℋ0$ décrit le mouvement bétatron et $ℋ1$ décrit par exemple les défauts multipolaires —

Supposons qu’en l’absence de perturbation ( $ε = 0$ ), le système puisse s’écrire en variables actions-angles $(I,θ)$ . Alors les équations du mouvement se réduisent à :

{ dθ ∂ℋ { -dtk= ∂I0k-= νk(I) θk(t) = νk(I)t + θ0k dIk= 0 ⇒ Ik(t) = Ik0 avec k = 1,...,n dt

(2.62)

Les solutions 2.62 peuvent s’écrire sous forme complexe $zk = I0kejθk$ , soit :

z (t) = z ejνkt, avec z = z (0 ) et k = 1,...,n k 0k 0k k

(2.63)

Les orbites 2.63 sont conﬁnées sur des tores de dimensions $n$ , produits de cercles de rayons $I0k$ parcourus aux fréquences $ν(I0) = (ν1(I0),...,νn(I0))$ (cf. Fig. 2.9 pour $n = 2$ ).

pict

FIG. 2.9:

Espace des phases d’un système à deux degrés de liberté en coordonnées actions-angles $(I ,I ,θ ,θ ) 1 2 1 2$ . Les orbites ( $x i$ ) sont conﬁnées sur des tores de dimension 2.

S’il existe une bijection entre les actions et les fréquences, i.e. si la condition de non-dégénérescence suivante est vériﬁée :

( ) ( 2 ) det ∂ν-(I)- = det ∂-ℋ0-(I)- ⁄= 0 ∂I ∂I2

(2.64)

alors le mouvement peut être décrit de manière équivalente par les actions $Ik$ ou les fréquences $νk$ ; on déﬁnit alors l’application, $F$ , dite application fréquence :

F : (I1,...,In) ↦→ (ν1,...,νn )

(2.65)

Si de plus, on se place sur une surface d’énergie constante ( $ℋ0 (I ) = Σ$ ), alors seulement $(n−1)$ actions sont indépendantes et l’application fréquence 2.65 devient (si par exemple, $νn⁄=0$ ) :

F : (I ,...,I ) ↦→ (ν1,..., νn−1) 1 n− 1 νn νn

(2.66)

Le problème qui nous préoccupe est de savoir ce qu’il advient de ces orbites sous l’eﬀet d’une perturbation faible. La réponse est fournie par le théorème KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser, voir par exemple les références incluses in Laskar, 1999) : sous des conditions très générales, pour une perturbation suﬃsamment faible, la plupart des tores du système non perturbé ( $ℋ0$ ) subsistent mais sont déformés. Ce sont les tores dont les vecteurs fréquences vériﬁent la condition dite diophantienne :

-Cε-- n | < m, ν > | ≥ |m |τ, τ > n et ∀ m ∈ ℤ

(2.67)

où $Cε$ est une constante dépendant de $ε$ et de $ℋ0$ : ils sont appelés tores KAM. Les tores de $ℋ0$ pour lesquels $< m, ν >= 0$ sont appelés tores résonants et sont détruits d’après le théorème KAM. Entre les tores KAM, les orbites sont en général chaotiques. Cependant, il est encore possible de construire une application fréquence (voir Laskar, 1999). Les solutions KAM peuvent alors s’exprimer sous la forme :

∑ zk(t) = zk0ejνkt + akmiejωmit, mi ∈ ℤn mi

(2.68)

Les coeﬃcients $ωmi$ sont combinaison linéaire de $n$ fréquences indépendantes appelées fréquences fondamentales du système, i.e. $ωmi = < mi, ν >= mi1ν1 + ...+ mn νin$ .

La méthode d’Analyse en Fréquence repose sur la construction de l’application fréquence numérique, $FT$ , en recherchant une décomposition quasi-périodique d’une trajectoire sur un temps d’intégration ﬁni $T$ et en utilisant une technique de Fourier raﬃnée (Laskar 1988, 1993 et 1999), i.e. sous la forme d’un nombre ﬁni $N$ de termes :

N jνkt ∑ k j<mi,ν>t n zk(t) = zk0e + amie , mi ∈ ℤ i=1

(2.69)

où les coeﬃcients $akmi$ sont ordonnés par amplitude décroissante¹⁴ et $ν$ est le vecteur de fréquences fondamentales.

A énergie ﬁxée, une trajectoire de l’espace des phases vit sur une surface d’énergie de dimension $2n − 1$ . Habituellement, on observe le mouvement dans une surface de Poincaré, i.e. que l’on enregistre une trajectoire discrète en ﬁxant un des angles $θ k$ , par exemple $θn=0$ modulo $2π$ (cf. Fig. 2.10). Les fréquences fondamentales déduites du signal quasi-périodique 2.69 sont exprimées par rapport à la section de Poincaré, donc par exemple dans notre cas $νn = 1$ . Le mouvement est donc restreint sur un espace de dimension $2n − 2$ .

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FIG. 2.10:

Section de Poincaré (a) : à chaque tour de l’accélérateur, la trajectoire discrète de la particule est enregistrée dans le plan $θ = 0 n$ . (b) Espace des phases $√--- √---- (xk=2Ik cosθk, pk = 2Ik sin θk)$ au temps (i).

Pour l’Analyse en Fréquence, une condition plus stricte est adoptée : on ﬁxe les $n$ angles $θk=θ0k$ . Dans ce cas, le mouvement est étudié dans un espace de dimension $n − 1$ . Il est caractérisé par la donnée de $n − 1$ actions.

En ne conservant que les fréquences fondamentales de la décomposition quasi-périodique (Eq. 2.69) obtenue après intégration sur un intervalle de temps $[τ,τ + T ]$ , on construit l’application fréquence numérique :

F_θ₀^T : ℝ × ℝⁿ⁻¹	−→ℝⁿ⁻¹
(τ,I₁,…,I_n−1)	(ν₁,…,ν_n−1)	(2.70)

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