Au cours de ce chapitre, je présenterai les deux outils fondamentaux utilisés durant ma thèse. Un code numérique d’intégration des équations du mouvement, en application directe du formalisme hamiltonien présenté précédemment, et l’Analyse en Fréquence.
Dans une première partie, je discuterai d’abord des motivations qui m’ont conduit à me lancer dans l’écriture d’un code numérique. Ensuite, je donnerai une brève description des différentes philosophies et méthodes employées et expliquerai leurs domaines de validité. Je m’attarderai plus particulièrement sur l’avantage des nouvelles méthodes (schéma symplectique, algèbre de Lie) utilisées dans le monde des accélérateurs. Bien que ces méthodes soient aujourd’hui très répandues aux Etats-Unis, elles ont plus de mal à s’établir en Europe1. Je présenterai alors une nouvelle classe d’intégrateurs symplectiques à pas tous positifs développée par Jacques Laskar (2000). Puis, je l’appliquerai aux Hamiltoniens décrivant chacun des principaux éléments magnétiques d’un accélérateur. Enfin, je donnerai une comparaison avec l’intégrateur de Ruth (1983), intégrateur symplectique le plus utilisé pour les machines à électrons.
Après avoir intégré les équations du mouvement, la dynamique des différentes machines à rayonnement synchrotron sera étudiée au moyen de l’Analyse en Fréquence. L’Analyse en Fréquence est l’outil central de mon travail de thèse. Je commencerai, dans la seconde partie de ce chapitre, par décrire la méthode sans noyer le lecteur dans des détails trop techniques. C’est un outil extrêmement puissant qui a été développé par Jacques Laskar initialement pour étudier la dynamique du Système Solaire. Avant de l’appliquer à la dynamique des accélérateurs (voir le chapitre 3), je présenterai quelques résultats pédagogiques sur le pendule rigide et l’application d’Hénon. Ces deux applications à un et deux degrés de liberté auront la particularité de permettre au lecteur de pouvoir lire plus simplement les cartes en fréquence des accélérateurs ; de plus, ils me permettront de présenter brièvement quelques résultats généraux sur les résonances et la stabilité des systèmes dynamiques.