Etude comparative

2.1.6 Etude comparative

2.1.6.1 Introduction

Un code d’intégration numérique a été écrit en langage FORTRAN90. Ce code prend en compte l’ensemble des modèles d’éléments magnétiques précédemment présentés. Ce programme est écrit de manière modulaire aﬁn de pouvoir traiter les petites et grandes machines ; il est possible d’introduire de nouveaux éléments magnétiques (e.g. les dispositifs d’insertion) ; le code est dédié et optimisé pour le tracking. Les intégrateurs avec ou sans correcteur de type $𝒮𝒜 ℬ 𝒜n$ et $𝒮ℬ 𝒜ℬn$ ont été programmés pour $n = 1, 2$ et $3$ . Des intégrateurs d’ordre plus élévé pourront sans diﬃculté être introduits par la suite. Pour les comparaisons internes, l’intégrateur d’ordre 4 de Forest et Ruth a également été programmé.

Diﬀérents types de comparaisons ont été eﬀectués, en particulier avec les codes DESPOT et MAD respectivement sur une maille de l’ALS (grande machine) et de Super-ACO (petite machine). Les calculs ont été réalisés en double précision sur une station DIGITAL PWS 433 AU (EV56 à 433 MHz).

2.1.6.2 Propriétés

Précision : Nous avons vériﬁé la précision de l’intégration pour chaque élément magnétique modélisé. Le Hamiltonien est une intégrale première du mouvement. Nous présentons quelques résultats pour le dipôle combiné dans l’approximation des grandes machines. Son Hamiltonien est rappelé :

p2 + p2 x2 b2 ℋ (x, y,l,px,py,δ) = --x---y-− hδx + h2--- + --(x2 − y2 ) 2◟(1◝+◜-δ)◞ ◟--------2-◝◜ -2--------◞ A B

avec comme courbure $h = 0.2015 m −1$ , gradient quadripolaire $b2 = − 4 × 10−3m − 2$ et longueur $L=0.86m$ . Le dipôle est ainsi focalisant dans les deux plans.

Tout d’abord, il est nécessaire de remarquer que le Hamiltonien s’apparente à celui de deux oscillateurs. Les parties $A$ et $B$ sont comparables i.e. le petit paramètre $ε$ est voisin de l’unité. Donc pour cet élément, il sera inutile de vouloir utiliser un intégrateur d’ordre supérieur à 4 puisque la nouvelle classe d’intégrateurs n’a d’intérêt qui si $ε$ est un petit paramètre.

Les erreurs sur l’énergie du dipôle combiné sont calculées sur un temps d’intégration de 1 000 passages à travers l’aimant (Fig. 2.4). Pour l’intégration exacte (cf. annexe A.2.4, page §), l’erreur est aléatoire avec une dérive numérique linéaire du nombre d’itérations comme attendu (la précision machine est $2.26 × 10−16$ ).

Les trois schémas symplectiques choisis sont le schéma de Ruth et le schéma $SABA2$ et $SBAB2$ avec correcteur. Le dipôle de longueur $L$ est intégré en trois étapes d’intégration ( $k=3$ ). La meilleure des méthodes est l’intégrateur $SABA2$ qui est plus d’un ordre de grandeur plus précis que le schéma de Ruth (Fig. 2.4).

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FIG. 2.4:

Comparaison à coût constant des intégrateurs $SABA2$ , $SBAB2$ avec correcteur et Ruth, pour un dipôle combiné. Erreur sur l’énergie $ΔE ∕E$ en fonction du nombre $N$ de passages dans l’aimant. Pour les schémas symplectiques l’erreur est bornée et périodique.

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FIG. 2.5:

Erreur relative sur l’énergie en échelle logarithmique en fonction de la taille du pas d’intégration $log10(s)$ . Les intégrateurs $SABA 2$ , $SBAB 2$ avec correcteur sont plus précis que l’intégrateur de Forest et Ruth respectivement d’un ordre et d’un demi ordre de grandeur.

Une étude systématique de la précision des méthodes a également été réalisée. Les intégrateurs $SABAn$ et $SBABn$ avec correcteur sont comparés à coût constant (i.e. à nombre égal d’évaluations) avec le schéma de Ruth. L’erreur relative des intégrateurs symplectiques est présentée pour $n = 2$ en fonction du nombre d’étapes d’intégration pour un aimant de longueur $L$ (Fig. 2.5). En échelle logarithmique, la pente des droites est 4, ce qui correspond à l’ordre des méthodes utilisées. La méthode $SABA 2$ avec correcteur est plus précise que le schéma de Ruth d’un ordre de grandeur.

Ce résultat va pouvoir être utilisé pour diminuer, à précision constante, le temps d’intégration des élément magnétique, soit de réduire le temps de tracking. Généralement, une à deux étapes d’intégration sont gagnées par comparaison avec l’intégrateur de Forest et Ruth.

Déphasage :


	k=4		k=6		k=8

Méthode	$N$	$νx$	$N$	$νx$	$N$	$νx$

« Exact »	-	0.185450	-	0.185450	-	0.185450
Ruth	5 441	0.185267	27 278	0.185414	87 163	0.185439
$SABA2$	330 503	0.185453	1 664 687	0.185451	5 256 904	0.185450

TAB. 2.3:

Comparaison du nombre $N$ nécessaire d’itérations pour obtenir une solution déphasée de $2π$ par rapport à l’intégration de référence d’une maille de l’ALS. Le déphasage et le nombre d’ondes sont exprimés pour diﬀérentes valeurs du nombre $k$ d’étapes d’intégration. Le schéma $SABA2$ est à chaque fois plus précis de plus de un à deux ordres de grandeur.

Un autre point remarquable de cette nouvelle classe d’intégrateurs est sa faible dérive en phase à nombre égal d’itérations. En comparant la solution numérique obtenue par le schéma symplectique par rapport à la solution exacte, on note que le déphasage introduit par la méthode $SABA2$ est très faible par rapport à l’intégrateur de Ruth et Forest (voir Fig. 2.6 pour le dipôle combiné et Fig. 2.7 pour une maille complète de l’ALS). Par exemple, le tableau 2.3 donne le nombre $N$ de tours de l’ALS pour obtenir un déphasage $Δ$ de $2π$ pour diﬀérentes valeurs du nombre d’étapes $k$ d’intégration des dipôles et des quadripôles de l’anneau¹². Une loi d’échelle entre le temps d’intégration $T = N × L$ et le nombre d’étapes $k$ d’intégration peut être établie. Si $L$ est la longueur de l’élément intégré $N$ fois, et si $k$ est le nombre d’étapes pour intégrer l’aimant. Alors le pas de l’intégrateur pour chaque étape est $L∕k$ et on établit :

( ) k2 4 N2 --- = --- k1 N1

où $N1$ , $N2$ correspondent au nombre de fois qu’il faut intégrer l’aimant de longueur $L$ , respectivement en $k1$ et $k2$ étapes, pour obtenir un déphasage $Δ = xsymp(T ) − xexact(T ) = 2π$ entre le schéma symplectique ( $xsymp$ ) et exact ( $xexact$ ). En eﬀet, en se souvenant que la méthode est d’ordre 4 et en ne gardant que les termes de plus bas degré, on peut écrire :

( L )4 Δ = |xsymp (T ) − xexact(T)| = T × -- = Cte k

Notons que le déphasage n’est pas une grandeur fondamentale pour déterminer si un intégrateur numérique est meilleur qu’un autre. Nous avons vu précédemment qu’un intégrateur symplectique peut être vu comme un modèle d’un élément magnétique. Ainsi pour retrouver les bons nombres d’ondes, il suﬃrait d’ajuster les conditions initiales.

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FIG. 2.6:

Déphasage $Δ$ des solutions du dipôle combiné introduit par les schémas $SABAC2$ et de Ruth par rapport à la solution « exacte ». Le déphasage est inférieur de deux ordres de grandeur pour la nouvelle classe d’intégrateur.

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FIG. 2.7:

Déphasage introduit par les schémas symplectiques pour l’intégration sur $N$ tours de l’ALS. Les quadripôles et dipôles sont intégrés en $k = 4$ étapes. Dès 5 441 tours, le schéma de Ruth introduit un déphasage complet (remarquer la diﬀérence d’échelle verticale pour les deux méthodes).

Jusqu’à présent, l’analyse de la précision des méthodes symplectiques n’a pas été réalisée. Cependant, une remarque concernant la taille des pas d’intégration peut être faite. Pour cela, décrivons succinctement le schéma d’intégration numérique d’un élément de longueur $L = 1$ avec l’intégrateur $SABA1$ dont l’expression est rappelée¹³ :

xf = ec1LA ed1LB ec1LAxi ◟-◝◜i-◞ ◟----◝◜-xc1-◞ xi d1

(2.60)

avec $2c1= 1$ et $d1 = 1$ . Dans ce cas l’intégration est réalisée en deux pas suivant $A$ et un pas suivant $B$ . Si l’intégration est réalisée en $k$ étapes, le schéma d’intégration 2.60 est composé $k$ fois avec un pas $L = L∕k$ .

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FIG. 2.8:

Schéma pour l’intégration des parties $A$ et $B$ d’un Hamiltonien avec (a) l’intégrateur de Forest et Ruth et (b) l’intégrateur $SABA1$ .

Ce processus est illustré pour les intégrateurs $SABA2$ et de Forest et Ruth (schéma 2.8 pour $k=1$ ). Pour l’intégrateur $SABA2$ les pas, tous positifs, sont petits, plus ﬁns sur les bords de l’élément et plus grands en son centre (cf. condition 2.20). L’intégrateur de Forest et Ruth est caractérisé par la présence de grandes valeurs de pas. Pour intégrer $A$ , on fait deux pas positifs $2×0.6756 = 1.3512$ et deux pas négatifs $2 × − 0.1724 = − 0.3512$ ; pour intégrer $B$ , deux pas positifs $2× 1.3512 = 2.7024$ et un grand pas négatif $− 1.7024$ .

La valeur des pas d’intégration a probablement une incidence sur la taille du reste des méthodes symplectiques et donc sur leur précision et phase. Des études plus complètes pourront être entreprises pour préciser ces phénomènes.

Conclusion : Dans les approximations réalisées, il est nécessaire de trouver un compromis entre la précision et le temps de calcul. L’utilisateur peut selon les besoins modiﬁer la précision de calcul en jouant sur le nombre d’étapes d’intégration d’un élément de longueur $L$ . La nouvelle classe d’intégrateurs utilisée permet de d’obtenir un intégrateur plus eﬃcace que le schéma classique de Forest et Ruth à précision de calcul égale.

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