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A.2.4 Dipôle combiné sans terme petite machine

Description et Hamiltonien : Dans cette partie, nous considérons un dipôle combiné de gradient quadripolaire b2 , de courbure h et de longueur L . Son Hamiltonien développé à l’ordre deux en les impulsions est (cf. Eq. 2.41) :

p2x + p2y 2 x2 2 ℋ (x,y, l,px,py,δ ) = --------− h δx + (b2 + h )---− b2y 2(1 + δ) 2
(A.15)

Les équations du mouvement (l est cyclique) :

(| dx = -px-, dpx = hδ − (b + h2)x { ddsy 1+pyδ ddspy 2 ds = 1+δ, -ds-= b2y |( dl = -p2x+p2y-+ hx, dδ= 0 ds 2(1+ δ)2 ds
(A.16)

Hypothèses de calcul : Les approximations (a) des grandes machines, (b) des petits angles et (c) hard-edge ont été faites pour établir l’expression A.15 qui est complètement intégrable.

Application de transfert : Si l’on ne considère que les équations horizontales, on obtient une équation différentielle du second ordre de type oscillateur harmonique :

d2x 2 ds = 1 ----- 1 + δdp ---x ds = δh ----- 1 + δ −b + h2 -2----- 1 + δx
alors :
xf = ( i |{ cos(ω+x s)(xi − --δh2) + (ω+x )− 1yi sin(ω+x s)-px +-δh-2 si (b2 + h2) ≥ 0 − i b2+hδh-- − −1 i −1+δpix-b2+hδh-- 2 | cosh(ωx s)(x − b2+h2) + (ωx ) y sinh (ωx s)1+δ + b2+h2 si (b2 + h ) < 0 ( (A.17)
avec ωx+ = ∘ ----- b2+h2- 1+ δ et ωx− = ∘ ------- b2+h2- − 1+δ
px f = { − (1 + δ)ω+x sin(ω+x s)(xi − bδ+hh2) + cos(ω+x s)pix si (b2 + h2 ) ≥ 0 − i -2δh-- − i 2 (1 + δ)ω − sinh (ω x s)(x − b2+h2) + cosh (ω x s)px si (b2 + h ) < 0 (A.18)
Les équations verticales donne l’équation différentielle d’un oscillateur :
d2y -2- ds = 1 ----- 1 + δdpy ---- ds = b2 ----- 1 + δy
alors :
yf = ( i ∘ ---- || cos(ω+ s)yi + (ω+)− 1sin (ω+ s)-py avec ω+ = -−b2 si b2 < 0 |{ y y y 1+δ i y ∘ 1+-δ cosh(ω−y s )yi + (ω−y )−1sinh(ω−y s) p1y+δ avec ω −y = 1b+2δ si b2 > 0 ||| piy ( yi + 1+δs si b2 = 0 (A.19)
et :
pyf = ( i i |{ − (1 + δ)ωy sin(ωys )y + cos(ωys)py si b2 < 0 (1 + δ)ωy sinh (ωys)yi + cosh(ωys)piy si b2 > 0 |( i py si b2 = 0 (A.20)
J’attire l’attention du lecteur sur le fait que ces équations nécessitent une programmation plus complexe que pour l’utilisation d’un schéma symplectique. Le temps de calcul est pénalisé par les branchements correspondant aux différents cas.

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