Décohérence 1D due à la dispersion des nombres d’ondes

4.3.2 Décohérence 1D due à la dispersion des nombres d’ondes

Supposons que la fréquence transverse dépende quadratiquement de l’amplitude d’oscillation $ax$ , i.e. :

2 νx = ν0x + kxxax

(4.16)

Alors le déphase au n-ième tour s’écrit :

∫ n 2 Δ φ(ax,n ) = 2π Δ ν(k) dk = 2πkxxa xn 0

(4.17)

L’oscillation bétatron de la particule devient (cf. formule 1.60 p. § avec $√ ----- ax = εxβx$ ) :

x(n) = axcos(2π ν0xn + φx + Δ φ(ax,n ))

(4.18)

et celle du centroïde de particules distribuées statistiquement selon $ρ(ax,φx )$ :

∫∫ < x(n) >= axρ(ax,φx )cos(2πν0xn + φx + Δφ (ax,n))d φxdax

(4.19)

4.3.2.1 Densité de probabilité transverse

Si $(x,x′) 00$ sont les variables de l’espace des phases transverse, alors on sait que l’invariant linéaire est l’intégrale d’action (cf. déﬁnition de l’émittance p. §) :

1 Jx0 = ----[x20 + (αxx0 + βxx ′0)2] 2βx

(4.20)

avec $εx=2Jx0$ . En supposant des distributions gaussiennes, la fonction densité de probabilité avant l’impulsion est alors donnée par :

β x20+(αxx0+βxx′0)2- ρ0(x0,x′0) = ---x-e− 2σ2x 2π σ2x

(4.21)

avec $√ ------- σx= 2βxJx0$ . La distribution dans les variables amplitude-phase $(ax,φx)$ est alors :

a2 ρ (a ,φ ) = ρ (x ,x′)|J | = -ax--e−2xσ2x 0 x x 0 0 0 2πσ2x

(4.22)

avec $|J|= aβxx$ et

{ x0 (n) = axcos(2π ν0x + φx ) ′ αxx0 (n) + βxx0(n ) = − ax sin (2 πν0x + φx)

(4.23)

La distribution recherchée est celle obtenue immédiatement après que le faisceau a reçu une impulsion $′ Δx$ . On suppose ici que le faisceau est déplacé d’un bloc instantanément au temps $t=0$ . On déduit alors (cf. Eq. 4.22 et Fig. 4.3) :

a2x+x2k- axxk ρ(ax,φx) = --ax-e− 2σx2 e− σ2x sinφx 2 πσ2x

(4.24)

avec l’amplitude de l’impulsion transverse $′ xk = βxΔx$ .

pict

FIG. 4.3:

Espace des phases ( $′ x,x$ ) et schéma pour calculer la fonction de distribution des particules juste après une impulsion ( $′ x k$ ) donnée par l’aimant rapide. A des ﬁns de lisibilité, l’amplitude amortie $ax$ est exagérée.

4.3.2.2 Expression ﬁnale

Le mouvement du centroïde du paquet de particules se réécrit alors (Eq. 4.19 et 4.24) :

< x(n) >	= ∫
	da_x	(4.25)
l’intégrale sur les cosinus étant nulle,

< x(n) >	= ∫ e⁻I₁ sin(2πν_0xn + Δφ(a_x,n)) da_x	(4.26)
avec la fonction de Bessel modiﬁée I₁(x) :

I₁(x)	= ∫ ₀^π cos(θ)e^{ix cos θ} dθ	(4.27)
< x(n) >	= −x_kF_x sin	(4.28)
avec	F_x = exp , θ = 4πk_xxσ_x²n

en utilisant la formule 4.12 et la propriété $I (x ) = jJ (x) 1 1$ .

La décohérence avec l’amplitude d’oscillation introduit le facteur de décohérence $Fx$ qui est une gaussienne pour $n$ petit et tend asymptotiquement vers une loi en puissance $Fx⇝1θ2$ . Le centroïde, $< x(n ) >$ , de phase $ψx$ (Eq. 4.28), oscille à la fréquence instantannée :

ν_x	=	(4.29)
	= ν_0x + k_xx	(4.30)

Deux régimes peuvent être distingués. Le premier, pour $θ < < 1$ : le faisceau oscille approximativement à la fréquence $νx ≈ ν0 + kxx(4σ2 + x2) x k$ . Le second pour $θ > > 1$ , la fréquence devient $ν = ν x 0x$ , ce qui correspond au cas où le faisceau a entièrement « décohéré » (son amplitude d’oscillation moyenne est nulle).

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]