3.2.4 Machine idéale

Super-ACO est considéré comme machine parfaite, i.e. sans défauts avec sa 4-périodicité. Les onduleurs ou wigglers ne sont pas modélisés et de plus les forces des lentilles décapolaires sont surestimées¹⁷ d’un facteur  : .

3.2.4.1 Optique

Le point de fonctionnement a pour nombres d’ondes et et les hexapôles chromatiques sont ajustés pour une chromaticité nulle dans les deux plans (tableau 3.5). L’ensemble des calculs est réalisé pour des particules d’énergie nominale (). Les fonctions optiques pour une super-période sont données par la figure 3.17.

, 4.72, 1.70 , 0.0, 0.0 0.0034 (nm.rad) 38 (tours) 75 000 TAB. 3.5: Caractéristiques faisceau de l’anneau considéré comme machine idéale avec sa 4-périodicité. La fréquence longitudinale () est 1 000 fois plus faible que les nombres d’ondes. Avec une grande émittance (), le faisceau de Super-ACO est amorti au bout d’un grand nombre de tours ().

Les calculs effectués avec le logiciel BETA diffèrent de ceux du logiciel MAD tout particulièrement pour des intégrations à grandes amplitudes. Nous l’avons déjà vérifié dans la section précédente. Les courbes de glissement des nombres d’ondes (Fig. 3.18) sont obtenues en utilisant l’intégrateur LIE4 de MAD.

Il est intéressant de comparer les ouvertures dynamiques calculées avec le logiciel BETA et avec le code MAD (Fig. 3.19). La méthode de calcul de l’ouverture dynamique de BETA et celle présentée avec MAD sont radicalement différentes. La philosophie de BETA est de ne tracer que le bord de l’ouverture dynamique selon le schéma suivant. On se donne une amplitude à fixé, on commence l’intégration, si l’on est stable (resp. instable), on incrémente (resp. décrémente) jusqu’à être instable (resp. stable). Ensuite, est incrémenté et l’on réitère le processus précédent. Notons que par cette méthode, on n’explore pas l’intérieur de l’ouverture dynamique qui peut alors contenir des régions conduisant à des mouvements instables. Un des points forts de cette méthode est la rapidité du temps de calcul qui permet de l’utiliser pour l’optimisation d’une machine pour un faible nombre de tours.

FIG. 3.18: Maille idéale de Super-ACO : Glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude obtenus avec le programme MAD (LIE4) sur 1 000 tours (à couplage faible ).

FIG. 3.19: Ouverture dynamique de Super-ACO ( m et  m) obtenue avec les codes BETA (contour, calcul rapide) et MAD sur 1 000 tours (calcul long).

Dans le second cas, on n’utilise MAD que pour réaliser l’intégration numérique de la trajectoire. On se donne une grille de conditions initiales et pour chaque nœud du maillage, on effectue l’intégration et l’on ne garde que les conditions initiales qui ont conduit à un mouvement stable. Ce type de calcul est beaucoup plus long, mais il est exhaustif au sens où l’on est assuré de ne pas avoir de région instable contenue dans l’ouverture dynamique, pourvu que le maillage soit assez fin (typiquement 150150 conditions initiales avec un pas suivant une loi en racine carrée).

Dans la présente étude, cette méthode donne des résultats peu différents qualitativement mais complètement différents quantitativement (bijection entre ouverture dynamique et carte en fréquence, localisation des résonances, stabilité).

3.2.4.2 Dynamique

L’ouverture dynamique (figure 3.20-d) et la carte en fréquence (figure 3.20-c) ont été calculées en intégrant la trajectoire de conditions initiales réparties dans le premier quadrant () de l’espace des configurations . L’intégration est effectuée sur deux fois 1 000 tours. Les 1 000 premiers tours sont utilisés pour calculer les fréquences associées au mouvement d’une particule survivante et les 1 000 suivants pour calculer la diffusion de l’orbite. Ce choix n’est pas arbitraire mais est justifié par une rapide convergence de l’application fréquence. Rappelons que, grâce aux propriétés de l’Analyse en Fréquence, l’on est dispensé de réaliser une intégration numérique des trajectoires pour un nombre de tours de 75 000 correspondant au temps d’amortissement de Super-ACO.

FIG. 3.20: Cartes en fréquence (c et a) tracées pour le premier () et second () quadrant de l’ouverture dynamique (d et b). Super-ACO est modélisé comme machine idéale ( m et  m). Le point de fonctionnement est le coin supérieur droit de la carte. La dynamique est principalement dominée par la résonance d’ordre 3 qui donne la limite verticale de l’ouverture dynamique ( mm). Toute la partie  mm sur l’ouverture dynamique (d) correspond à l’île de cette résonance. La diffusion est codée en niveaux de gris suivant une échelle logarithmique.

Nous pouvons succintement commenter l’ouverture dynamique calculée (Fig. 3.20-d) :

A première vue, l’ouverture dynamique semble très grande : extension horizontale jusqu’à 50 mm et verticale au-delà de 50 mm. Cependant, on observe que pour des conditions initiales verticales () excédant 23 mm (pour x=0 mm), la zone de stabilité résiduelle n’est qu’une immense île de résonance . De plus aux grandes amplitudes, la diffusion est importante.

Une étude plus fine permet d’affirmer que toutes les particules survivantes ayant des conditions initiales dans la sus-dite zone ont leurs nombres d’ondes situés soit sur la résonance principale soit au-delà.

En conclusion, les dimensions de l’ouverture dynamique pour le premier quadrant () doivent être ramenées à des valeurs plus raisonnables :  mm.

La carte en fréquence associée (Fig. 3.20-c) a également une grande extension dans l’espace des fréquences. La figure 3.20-c ne la montre pas dans sa totalité : elle est tronquée dans sa partie basse qui s’étend jusqu’à . Cependant cette partie n’a pas d’intérêt pour la dynamique, car elle ne sera jamais atteinte pour la machine réelle (hors de l’ouverture physique, la résonance principale ne peut être traversée). La description de la carte en fréquence peut être décomposée en deux parties séparée par la résonance (voir aussi Fig. 3.21 et les cartes en couleur B.3) :

(1) une première partie au voisinage du point de fonctionnement , coin supérieur droit de la figure. Cette partie est très régulière avec une diffusion faible (équipartition des points, diffusion faible : ).

(Frontière 1-2) la dynamique est dominée par la résonance systématique d’ordre 3, . En pratique, en son voisinage, on observe une grande vitesse d’éjection des particules. Sur la carte en fréquence soit les particules sont capturées dans l’île de résonance soit il y a désertion de points : très proche de la résonance, la diffusion est très élevée () correspondant à la proximité des zones hyperboliques associées à la résonance (les particules vont être perdues si l’intégration est poursuivie). La largeur de la résonance est grande : .

(2) au-delà de la résonance d’ordre 3, la diffusion est importante, la stabilité est faible (les particules ayant des amplitudes initiales horizontales presque nulles sont tout de même stables). Les résonances révélées par la carte en fréquence sont répertoriées dans le tableau 3.6 et localisées sur la figure 3.21.

Ordre 1 :2 :-2 3 :-6 :2 1 :-4 :2 6 :4 :-7 1 :-7 :4 0 :3 :-2 1 :8 :-6 7 :0 :5 9 :1 :-7 TAB. 3.6: Principales résonances identifiées sur la carte en fréquence de Super-ACO modélisé comme machine idéale. Des résonances d’ordres aussi bien faibles qu’élevés sont observées (origine : les hexapôles).

FIG. 3.21: Résonances principales (traits pleins) et point de fonctionnement (traits pointillés) pour Super-ACO modélisée comme machine idéale. La carte en repliée sur elle-même pour .

La carte en fréquence est repliée dans la région (cf. Fig. 3.21). Il semble qu’au-delà de ce repliement plus aucune trajectoire ne soit stable. Ce repliement correspond dans l’ouverture dynamique aux amplitudes horizontales supérieures à (cf. Fig. 3.20-d).

La figure 3.20-b exhibe le second quadrant () de l’ouverture dynamique. La carte en fréquence (figure 3.20-a) est bien entendu inchangée si ce n’est le caractère hyperbolique ou elliptique des résonances rencontrées (et l’échantillonnage dans l’espace des fréquences).

L’ouverture dynamique négative a comme extension . Comme précédemment, toutes les conditions initiales des particules au deçà de la résonance principale conduisent à des mouvements peu stables ().

La résonance principale, , est maintenant de nature hyperbolique : c’est pourquoi on n’observe plus d’île de résonance dans l’ouverture dynamique.

3.2.4.3 Défauts de gradients des quadripôles droits

La modélisation de Super-ACO peut être améliorée en introduisant les défauts de gradient des quadripôles droits. Les valeurs utilisées sont celles mesurées en 1990 (Barthès et al., 1990) sur l’ensemble des quadripôles de la machine pour un point de fonctionnement équivalent.

FIG. 3.23: Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) calculées en incluant dans le modèle les mesures magnétiques des quadripôles droits de Super-ACO ( m et  m). La diffusion est globalement plus élevée, les largeurs de résonances plus grandes. L’influence des défauts magnétiques reste faible (mêmes dimensions de l’ouverture dynamique).

La figure 3.22 indique les valeurs relatives des gradients de chacun des 32 quadripôles de Super-ACO en prenant le troisième quadripôle comme référence. Ces valeurs sont aléatoires et relativement faibles (de l’ordre du pour mille) ; la dynamique globale devrait être peu modifiée bien que la périodicité de l’anneau soit réduite de 4 à 1 : de nouvelles résonances devraient apparaître .

En comparant les cartes en fréquence et ouvertures dynamiques de la machine idéale (Fig. 3.20-a et b) et de la machine avec les défauts de gradients déduits des mesures magnétiques (Fig. 3.23), plusieurs remarques peuvent être faites (voir aussi la carte en couleur B.4).

Le point de fonctionnement est légèrement différent : , contre auparavant  ; toutes les résonances vont être atteintes avec des amplitudes plus faibles. Cette différence s’explique par la modification des gradients des familles quadripolaires et (le point de fonctionnement n’a pas été réajusté après l’introduction des défauts).

L’ouverture dynamique est très légèrement réduite. La diffusion est partout plus élevée et en particulier au voisinage des lignes de résonance (cf. Fig. 3.22-b) et au-delà de la résonance d’ordre 3 (grandes amplitudes). Le nœud des résonances d’ordre 3, , 9, , 10, et 7, est excité.

En conclusion, une détérioration globale de la dynamique est observée mais elle reste faible.