Table des ﬁgures

[prev] [prev-tail] [tail] [up]

Table des ﬁgures

1.1 Schéma d’un anneau de stockage à électrons constitué de huit super-périodes. Les particules circulent dans une chambre à vide tout au long de l’anneau constitué d’une succession d’éléments magnétiques.
1.2 Paquets circulant dans un anneau de stockage à une vitesse proche de la lumière $c$ , autour de l’orbite de référence. Au sein de chaque paquet, les particules oscillent en longitude et en énergie (dynamique longitudinale) — inspiré de Sands, 1970 —
1.3 Repère de Serret-Frenet $(n, b,t)$ . Déﬁnition des coordonnées curvilignes $(X, Y, s)$ utilisées pour écrire les équations du mouvement d’une particule autour de la trajectoire de référence.
1.4 Plan d’antisymétrie pour un dipôle, un quadripôle et un hexapôle droits.
1.5 Ellipse invariante dans l’espace des phases ( $′ u,u$ ). L’aire de l’ellipse est $π εu$ ; $αu$ , $βu$ et $γu$ sont les fonctions de Twiss.
1.6 Diagramme des résonances jusqu’à l’ordre 8 avec (a) et sans (b) 12-périodicité (exemple de l’ALS). La symétrie interne d’un accélérateur est utilisée pour augmenter la stabilité globale de la dynamique. Le point de fonctionnement d’une machine est choisi dans une région du diagramme où il y a peu de résonances.
2.1 Schéma succinct d’un bloc rectiligne (a) et courbe (b) de longueur $L$ . Les axes de coordonnées sont portés par les faces d’entrée et de sortie des blocs — inspiré de Forest et Hirata (1992) —
2.2 Schéma d’un aimant secteur (a) et d’un aimant à faces parallèles (b). Les angles des coins d’entrée et de sortie sont ici égaux : $θ θe = θs = 2$ .
2.3 Schéma du proﬁl magnétique longitudinal d’un aimant de longueur $L$ . En approximation hard-edge, le champ magnétique est constant dans l’élément et nul à l’extérieur. En réalité, le champ magnétique décroît jusqu’à une valeur nulle de part et d’autre sur une longueur $λ$ : on parle de champ de fuite.
2.4 Comparaison à coût constant des intégrateurs $SABA2$ , $SBAB2$ avec correcteur et Ruth, pour un dipôle combiné. Erreur sur l’énergie $ΔE ∕E$ en fonction du nombre $N$ de passages dans l’aimant. Pour les schémas symplectiques l’erreur est bornée et périodique.
2.5 Erreur relative sur l’énergie en échelle logarithmique en fonction de la taille du pas d’intégration $log10 (s)$ . Les intégrateurs $SABA2$ , $SBAB2$ avec correcteur sont plus précis que l’intégrateur de Forest et Ruth respectivement d’un ordre et d’un demi ordre de grandeur.
2.6 Déphasage $Δ$ des solutions du dipôle combiné introduit par les schémas $SABAC 2$ et de Ruth par rapport à la solution « exacte ». Le déphasage est inférieur de deux ordres de grandeur pour la nouvelle classe d’intégrateur.
2.7 Déphasage introduit par les schémas symplectiques pour l’intégration sur $N$ tours de l’ALS. Les quadripôles et dipôles sont intégrés en $k = 4$ étapes. Dès 5 441 tours, le schéma de Ruth introduit un déphasage complet (remarquer la diﬀérence d’échelle verticale pour les deux méthodes).
2.8 Schéma pour l’intégration des parties $A$ et $B$ d’un Hamiltonien avec (a) l’intégrateur de Forest et Ruth et (b) l’intégrateur $SABA1$ .
2.9 Espace des phases d’un système à deux degrés de liberté en coordonnées actions-angles $(I1,I2, θ1,θ2)$ . Les orbites ( $xi$ ) sont conﬁnées sur des tores de dimension 2.
2.10 Section de Poincaré (a) : à chaque tour de l’accélérateur, la trajectoire discrète de la particule est enregistrée dans le plan $θ = 0 n$ . (b) Espace des phases $√--- √---- (xk=2Ik cosθk, pk = 2Ik sin θk)$ au temps (i).
2.11 Diﬀusion pour un système à deux degrés de liberté (a), e.g. l’application d’Hénon (cf. infra) : la diﬀusion est conﬁnée par les trajectoires régulières qui sont des points dans l’espace des fréquences. Pour trois degrés de liberté (b), e.g. la dynamique transverse d’un accélérateur, la diﬀusion n’est plus conﬁnée par les trajectoires régulières ; la diﬀusion est cependant faible en leur voisinage (Laskar, 1994)
2.12 Espace des phases $(q, p)$ du pendule rigide (a) et courbes en fréquence $ν(q)$ . Au voisinage du point hyperbolique (b), la courbe en fréquence présente une singularité logarithmique. Au voisinage du point elliptique (c), la courbe en fréquence est nulle (plateau). Après échantillonnage en moment $p$ , les projections (d et e) des courbes en fréquences sont identiques pour le régime de circulation.
2.13 Perturbation d’un système : destruction d’un tore rationnel de fréquence $ν = 1 4$ en quatre points ﬁxes elliptiques et quatre points ﬁxes hyperboliques. Les tores irrationels sont faiblement déformés. Au voisinage de chaque point elliptique, le raisonnement peut être réappliqué.
2.14 Portraits de phase $(q,p)$ et courbes en fréquence associées $ν (q)$ pour $p = 0$ de l’application d’Hénon. La fréquence linéaire $ω$ a été choisie dans chacun des cas pour mettre en évidence des résonances d’ordre 4 (a, $ω = 0.251$ ), 5 (b, $ω=0.205$ ), 6 (c, $ω = 0.180$ ) et 7 (d, $ω = 0.150$ ). Des résonances d’ordre plus élevé apparaissent et limitent l’ouverture dynamique.
2.15 Ouverture dynamique ( $qmax$ ) associée à l’application d’Hénon en fonction de la fréquence linéaire $ω$ normalisée par $2π$ . L’ouverture dynamique est limitée par la résonance entière pour $0 < ω < 0.013$ . Au-delà, elle est contrainte par des résonances d’ordre plus élevé. L’ouverture dynamique est nulle pour $ω = 1$ et $1∕3$ ; elle est inﬁnie en $ω = 0.5$ .
2.16 Section de Poincaré en $s = 0$ pour un accélérateur de particules et trajectoire de phase $(x,px)$ enregistrée aux temps discrets $i$ .
2.17 Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) calculées pour une maille parfaite de l’ALS pour la surface de section $s = 0$ ( $βx = 11.3m$ et $βy = 4.0m$ ). Trois types de zones sont observés : zones régulières (A), les résonances (B) et les régions chaotiques (C). Une résonance est révélée diﬀéremment suivant qu’elle est traversée au voisinage des régions hyperboliques ou elliptiques. La diﬀusion des orbites est codée suivant une échelle logarithmique en niveaux de gris. L’échantillonnage dans l’ouverture dynamique suit une loi en racine carrée de la distance à l’origine.
3.1 Fonctions optiques pour une maille de SOLEIL.
3.2 (a) : Glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude. Dans chaque cas, une des positions $x$ ou $y$ est ﬁxée à $1μm$ (quasi-absence de couplage entre les deux plans). Cette optique a initialement été conçue pour contraindre les courbes en fréquence entre les résonances d’ordre 7 et 9. (b) : Carte en fréquence de l’optique numéro 1 de SOLEIL avec identiﬁcation des principales résonances. La dynamique est perturbée par la résonance 5:2:-2 et à grande amplitude par la résonance entière d’ordre 9 (région chaotique). Le point de fonctionnement est à l’intersection des deux droites en pointillés.
3.3 (a) Carte en fréquence et (b) ouverture dynamique de l’optique faible émittance numéro 1 de SOLEIL calculées pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 10$ m et $βy=8$ m). L’ouverture dynamique est grande. Elle est marquée par les résonances ; en particulier, la protubérance observée vers $x = 38$ mm correspond à la résonance d’ordre 9. La diﬀusion est codée en niveaux de gris. Elle est plus importante au voisinage des résonances et sur le bord de l’ouverture dynamique (grande amplitude).
3.4 Inﬂuence du déplacement d’un hexapôle sur la carte en fréquence de l’optique numéro 1 de SOLEIL : la résonance d’ordre 7, 5:2:-2 est fortement excitée. Toutes les orbites ayant des nombres d’ondes au-delà sont maintenant instables. L’extension de la carte en fréquence est réduite de plus d’un facteur deux selon $νy$ .
3.5 Diﬀusion à long terme (grossissement de la carte 3.2-b de SOLEIL). (O1) Orbite régulière. (O2) Diﬀusion transverse rapide et longitudinale lente par rapport à la résonance $3 : 4 : − 2$ . (O3) Diﬀusion rapide dans une région chaotique : la particule est perdue après 5 380 tours de machine.
3.6 Optique 1 modiﬁée de SOLEIL ( $βx = 10$ m et $βy = 8$ m) : Carte en fréquence avec les principales résonances (surface de Poincaré en $s = 0$ ). La carte en fréquence est repliée sur elle-même, e.g. au voisinage du point de fonctionnement qui est à l’intersection des deux droites en pointillés.
3.7 Variation des nombres d’ondes avec l’amplitude à faible couplage ( $1μm$ ) pour l’optique 1 modiﬁée de SOLEIL. La résonance d’ordre 7 est traversée a faible et grande amplitude. Par contre la résonance d’ordre 9 n’est plus atteinte (comparer avec les courbes 3.2-a).
3.8 Variation des nombres d’ondes avec l’amplitude à faible couplage ( $1 μm$ ) pour l’optique 2 de SOLEIL. Les hexapôles ont été réglés de manière à ne plus traverser les résonances d’ordre 7 et 9 qui marquaient la dynamique (comparer avec les courbes 3.2-a).
3.9 Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 10$ m et $βy = 8$ m) pour l’optique 1 modiﬁée de SOLEIL. L’ouverture dynamique est presque aussi grande que pour la première optique ; la carte en fréquence est repliée sur elle-même : sa lecture en est rendue plus diﬃcile. Son extension spatiale est réduite, moins de résonances sont rencontrées. La diﬀusion des orbites est globalement plus faible.
3.10 Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 10$ m et $βy = 8$ m) l’optique 2 de SOLEIL. Les glissements des nombres d’onde sont faibles, ce qui se traduit par une faible extension de la carte en fréquence, une faible diﬀusion et une grande ouverture dynamique. La carte en fréquence est repliée sur elle-même par deux fois.
3.11 Synoptique de Super-ACO. L’anneau possède une symétrie 4. Ses 32 quadripôles sont répartis en 4 familles. Chacun des 8 dipôles courbe la trajectoire d’une particule d’un angle moyen de 45˚.
3.12 Une des 4 mailles de Super-ACO à symétrie centrale. La structure suit une schéma de Chasman-Green (deux dipôles). Les familles de quadripôles $Q1$ et $Q2$ servent à ajuster les nombres d’ondes, la fonction dispersion est réglée avec les deux autres familles.
3.13 Schéma d’une coupe d’un demi-quadripôle de Super-ACO. L’hexapôle est créé par un mauvais dipôle. Deux bobines de corrections peuvent être utilisées pour la correction dipolaire ou quadripolaire (extrait de Barthès et al., 1990).
3.14 Schéma équivalent d’un quadripôle combiné de Super-ACO. L’hexapôle (H) et le décapôle (LD) sont modélisés par des lentilles minces.
3.15 Un exemple de non symplecticité : une particule test de conditions initiales $x0 = 3$ cm et $′ x 0 = 0$ est intégrée sur 5 000 tours au second l’ordre avec le code BETA. Normalement, la trajectoire des phases devrait être une ellipse passant par la condition initiale (le système est dans ce cas à un degré de liberté). On observe au contraire une trajectoire spirale vers le centre de l’espace des phases (x,x’) comme en présence d’un terme d’amortissement. Les points de la trajectoire ne sont pas reliés par soucis de lisibilité.
3.16 Comparaison des glissements des nombres d’ondes calculés à l’ordre scaling en mode QXZ, XZ de BETA et avec l’intégrateur LIE4 de MAD sur 1 000 tours de Super-ACO. Les calculs des décapôles ne sont pas corrects à grandes amplitudes ( $x > 20$ mm) avec le code BETA (cf. faible rayon de courbure de l’anneau).
3.17 Fonctions optiques pour une des quatre super-périodes de Super-ACO : machine idéale.
3.18 Maille idéale de Super-ACO : Glissement des nombres d’ondes avec l’amplitude obtenus avec le programme MAD (LIE4) sur 1 000 tours (à couplage faible $1μm$ ).
3.19 Ouverture dynamique de Super-ACO ( $β = 5.6 x$ m et $β = 10.8 y$ m) obtenue avec les codes BETA (contour, calcul rapide) et MAD sur 1 000 tours (calcul long).
3.20 Cartes en fréquence (c et a) tracées pour le premier ( $x > 0,y > 0$ ) et second ( $x < 0,y > 0$ ) quadrant de l’ouverture dynamique (d et b). Super-ACO est modélisé comme machine idéale ( $βx=5.6$ m et $βy = 10.8$ m). Le point de fonctionnement est le coin supérieur droit de la carte. La dynamique est principalement dominée par la résonance d’ordre 3 $(νx + 2νy − 2 × 4 = 0)$ qui donne la limite verticale de l’ouverture dynamique ( $y = 20$ mm). Toute la partie $y > 20$ mm sur l’ouverture dynamique (d) correspond à l’île de cette résonance. La diﬀusion est codée en niveaux de gris suivant une échelle logarithmique.
3.21 Résonances principales (traits pleins) et point de fonctionnement (traits pointillés) pour Super-ACO modélisée comme machine idéale. La carte en repliée sur elle-même pour $νx ≈ 4.7075$ .
3.22 (a) Ecart entre le gradient mesuré et nominal de chaque quadripôle normalisé par le gradient nominal du quadripôle 3 (mesures magnétiques aléatoires de l’ordre du pour mille, Barthès et al., 1990). (b) Carte en fréquence de Super-ACO et résonances (traits pleins) identiﬁées lorsque les défauts de gradients sont modélisés. Le point de fonctionnement est le coin supérieur droit de la carte.
3.23 Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) calculées en incluant dans le modèle les mesures magnétiques des quadripôles droits de Super-ACO ( $βx = 5.8$ m et $βy = 10.8$ m). La diﬀusion est globalement plus élevée, les largeurs de résonances plus grandes. L’inﬂuence des défauts magnétiques reste faible (mêmes dimensions de l’ouverture dynamique).
3.24 Fonctions optiques sur une super-période de Super-ACO : réglage nominal.
3.25 Glissement des nombres d’ondes $νx$ et $νy$ avec l’amplitude : calculs eﬀectué avec l’intégrateur LIE4 de MAD et l’ordre scaling de BETA sur 1 000 tours de l’anneau Super-ACO. A grande amplitude ( $|x|>20$ mm), le désaccord est ﬂagrant : les lentilles décapolaires ne sont plus correctement prises en compte par le code BETA (la résonance $3νx−5= 0$ n’est donc pas observée).
3.26 Super-ACO deuxième quadrant ( $x<0,y> 0$ ) : carte en fréquence et ouverture dynamique pour le point de fonctionnement nominal ( $βx = 5.5$ m et $βy = 11.5$ m). La carte en fréquence est très compacte : peu de résonances sont rencontrées. Il est diﬃcile de comprendre avec cette modélisation les observations expérimentales.
3.27 Fonctions optiques de l’ESRF
3.28 Ouverture dynamique de l’ESRF : premier jeu hexapolaire, section de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 35.6m$ et $βy=2.5m$ ). Bien que très grande, elle est irrégulière, fortement marquée par les résonances et dissymétrique.
3.29 Carte en fréquence (a et c) et ouverture dynamique (b et d) de l’ESRF: premier jeu hexapolaire pour une surface de section en $s = 0$ ( $βx = 35.6m$ et $βy = 2.5m$ ). La dynamique est dominée par la résonance de couplage 3:-2:0 et la résonance entière $νx=36$ . Les zones elliptiques et hyperboliques associées sont nettement identiﬁables sur l’ouverture dynamique (b).
3.30 Carte en fréquence de l’ESRF séparée en deux parties (a et c) pour faciliter la lecture: premier jeu hexapolaire, pour $s = 0$ , ( $βx = 36 m$ et $βy = 2.5 m$ ). L’ouverture physique représentée par un rectangle dans l’ouverture dynamique (b et d).
3.31 Principales résonances pour la dynamique du premier jeu hexapolaire de l’ESRF. Le point de fonctionnement est à l’intersection des droites en pointillés. La dynamique est marquée par la résonance de couplage 3:-2:0 et la résonance entière $νx = 36$ .
3.32 (a): Variation de la partie fractionnaire des nombres d’ondes avec l’énergie $δ$ pour le premier réglage de l’ESRF. (b) : Excursion du point de fonctionnement dans l’espace des fréquence pour $−5% < δ < 5%$ . Les résonances systématiques sont tracées jusqu’à l’ordre 9.
3.33 Dynamique oﬀ momentum pour le premier jeu hexapolaire de l’ESRF (Colonne 1 : $δ > 0$ , colonne 2 : $δ < 0$ ). Les cartes en fréquence sont profondément modiﬁées entre $δ = − 3%$ et $δ = 3%$ (extension spatiale, repliement, résonances). Le point de fonctionnement se rapproche de la résonance entière qui détruit la dynamique pour $δ > 0$ , alors que pour $δ < 0$ la dynamique est de plus en plus stable. L’ouverture physique est représentée par un rectangle en traits pleins.
3.34 Durée de vie Touschek ( $T$ ) en fonction de la tension RF ( $VRF$ ) pour le premier réglage de l’ESRF en mode multipaquets (a) et faible nombre de paquets (b). Une saturation de la durée de vie est observée pour les calculs en mode nonlinéaire (cercles) par rapport au calcul linéaire (carrés).
3.35 Variation de l’ouverture dynamique horizontale ( $xmax$ ) de l’ESRF avec l’énergie ( $δ$ ) pour le premier réglage hexapolaire. Les dimensions (carrés) sont données par rapport à l’orbite fermée. En supposant que la résonance entière $νx − 36 = 0$ limite l’ouverture dynamique, les dimensions (cercles) sont restreintes pour $δ > 0$ . Ces dimensions sont prises en compte pour le calcul de la durée de vie Touschek en mode nonlinéaire.
3.36 Ouverture dynamique : second jeu hexapolaire de l’ESRF pour $s = 0$ , ( $βx = 35.6 m$ et $βy=2.5m$ ). Elle est toujours très dissymétrique mais plus régulière que pour le premier jeu hexapolaire.
3.37 Carte en fréquence et ouverture dynamique calculées pour le second réglage hexapolaire de l’ESRF pour une surface de section à $s = 0$ ( $βx = 36m$ et $βy = 2.5m$ ). La dynamique est dominée par la résonance d’ordre 5, $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ . La diﬀusion (niveaux de gris) est assez faible avec une grande ouverture dynamique.
3.38 Carte en fréquence de l’ESRF séparée en deux parties (a et c) pour faciliter la lecture: second réglage hexapolaire, pour $s = 0$ , ( $βx = 36m$ et $βy=2.5m$ ). L’ouverture physique représentée par un rectangle dans l’ouverture dynamique associée (b et d).
3.39 Principales résonances identiﬁées sur la carte en fréquence correspondant au second réglage hexapolaire de l’ESRF. Le point de fonctionnement est à l’intersection des deux droites en traits pointillés. La carte en fréquence est repliée sur elle-même (voir aussi Fig. 3.38).
3.40 Exemple de diﬀusion d’orbites (a) pour le second réglage de l’ESRF. La première orbite (O1) est intégrée sur 1 million de tours ; la particule oscille rapidement transversalement à la résonance $ν − ν − 22 = 0 x y$ et lentement longitudinalement. La seconde orbite (O2) reste piégée 15 000 au voisinage de la résonance $11 : − 10 : 0$ avant de diﬀuser rapidement dans la zone chaotique de la carte en fréquence. La variation de ses nombres d’ondes avec le nombre de tours $N$ est tracée (b) jusqu’à sa perte au bout de 38 000 tours.
3.41 Dynamique oﬀ momentum pour le second jeu hexapolaire de l’ESRF (colonne 1 : $δ > 0$ , colonne 2 : $δ < 0$ ). Les cartes en fréquence sont profondément modiﬁées entre $δ= − 3%$ et $δ = 3%$ (extension spatiale, repliement, résonances). Pour $δ>0$ , la dynamique est dominée par la résonance d’ordre 5, $3νx−2νy − 5 × 16 = 0$ qui est atteinte à des amplitudes de plus en plus faibles.
3.42 Second réglage hexapolaire de l’ESRF : variation de la partie fractionnaire des nombres d’ondes avec l’énergie $δ$ .
3.43 Second réglage de l’ESRF : variation de l’ouverture dynamique horizontale avec l’énergie ( $δ$ ). Les dimensions sont données par rapport à l’orbite fermée. Elles sont prises en compte pour le calcul de la durée de vie Touschek en mode nonlinéaire.
3.44 Durée de vie Touschek pour le second réglage de l’ESRF en mode multipaquets (a) et faible nombre de paquets (b). Une saturation de la durée de vie est observée pour les calculs en mode nonlinéaire (cercles) par rapport au calcul linéaire (carrés) et donnent des résultats deux fois plus faibles à 12 MV.
3.45 Cartes en fréquence pour le point de fonctionnement historique de l’ESRF pour les deux réglages hexapolaires choisis (a et b). Le point de fonctionnement est beaucoup trop proche des résonances entières : la zone eﬀective de stabilité est petite, l’injection est réalisée au voisinage de résonances et la diﬀusion des orbites est globalement très élevée.
3.46 Une des douze cellules TBA de l’ALS
3.47 Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) calculées pour une maille parfaite de l’ALS pour la surface de section $s = 0$ ( $βx = 11.3 m$ et $βy = 4.0 m$ ). La diﬀusion permet de nettement distinguer le réseau de résonance sur les deux ﬁgures.
3.48 Carte en fréquence de l’ALS sans défaut magnétique avec les principales résonances pour la surface de section $s = 0$ ( $βx = 11.3m$ et $βy=4.0m$ ). Le point de fonctionnement est à l’intersection des lignes en traits pointillés. Les résonances les plus néfastes pour la dynamique sont la résonance de couplage 1:-1:0 et la résonance entière $νy = 8$ qui ne sera jamais traversée en pratique.
3.49 Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) de l’ALS : maille avec défauts quadripolaires mesurés pour un surface de section en $s = 0$ ( $βx = 11.3 m$ et $βy = 4.0m$ ). La 12-périodicité de l’anneau est brisée, l’extension spatiale de la carte en fréquence est réduite d’un facteur 2 dans le plan vertical.
3.50 Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) de l’ALS ( $βx = 11.3m$ et $β=4.0m y$ ) : inﬂuence d’un couplage eﬀectif de 1% ajusté à partir des quadripôles tournés. La diﬀusion est globalement plus élevée. Seule la région voisine du point de fonctionnement reste régulière.
3.51 Carte en fréquence de l’ALS avec les erreurs de gradients des quadripôles droits et tournés. Le point de fonctionnement est à l’intersection des lignes en traits pointillés. Des résonances d’ordre 5 non permise par la périodicité sont excitées par les défauts magnétiques, la diﬀusion est très élevée (cf. zones irrégulières).
3.52 (a) : Variation de la partie fractionnaire des nombres d’ondes de l’ALS en fonction de l’énergie ( $δ$ ). (b) : Déplacement du point de fonctionnement dans le diagramme des résonances tracées jusqu’à l’ordre 7.
3.53 Dynamique oﬀ momentum (colonne 1 $δ > 0$ , colonne 2 $δ < 0$ ) de l’ALS considérée comme machine idéale. Pour $δ > 0$ la résonance de couplage 1:-1:0 est atteinte pour des amplitudes de plus en plus faibles. Ceci est bien conﬁrmé expérimentalement. Les cartes en fréquence ne présentent pas de repliement, car il n’y a que deux familles d’hexapôles utilisées pour ajuster les chromaticités.
4.1 Cartes en fréquence de l’ALS idéal (à gauche) et en incluant les défauts magnétiques (à droite) tracées pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 11.3m$ et $βy = 4.0m$ ). Les défauts des quadripôles droits et tournés déduits des matrices-réponse expérimentales brisent la symétrie 12 de l’anneau ; seule la région voisine du point de fonctionnement reste régulière (Robin, Steier, Laskar et Nadolski, 2000).
4.2 Schéma descriptif de la décohérence dans l’espace des phases $′ (x,x)$ . Au temps $t0$ , le faisceau est amorti. Il est déplacé « d’un bloc » ( $t1$ ). Puis, les particules commencent à se déphaser les unes par rapport aux autres ( $t2$ ). Au temps $t3$ , le faisceau a entièrement « décohéré », les particules sont répartie dans un anneau autour de la trajectoire de la particule centrale. La position du centroïde du faisceau est alors nulle.
4.3 Espace des phases ( $x,x′$ ) et schéma pour calculer la fonction de distribution des particules juste après une impulsion ( $x ′k$ ) donnée par l’aimant rapide. A des ﬁns de lisibilité, l’amplitude amortie $ax$ est exagérée.
4.4 Schéma d’un BPM à quatre électrodes de l’ALS.
4.5 Exemple de signal à faible amplitude (gauche) et grande amplitude (droite) à l’ALS : la décohérence est très rapide, de 600 tours à 100 tours.
4.6 Amplitude du signal (unité arbitraire) en fonction de la tension (kV) sur l’aimant rapide horizontal de l’ALS. Une saturation des BPM et des nonlinéarités apparaissent à partir de 6 000 kV.
4.7 Comparaison d’une carte en fréquence expérimentale (a) avec un modèle numérique de l’ALS incluant les défauts magnétiques mesurés (b) (Robin, Steier, Laskar et Nadolski, 2000).
4.8 Espace des conﬁgurations (à gauche) et carte en fréquence expérimentale (à droite) pour le point de fonctionnement d’origine de l’ALS avec mesure expérimentale de la diﬀusion des orbites (Steier, Robin, Laskar, Nadolski, 2000). Les nœuds de résonances sont nettement observés avec une diﬀusion rapide à grande amplitude.
4.9 Cartes en fréquence expérimentale (à droite) et simulée (à gauche) de l’ALS pour un point de fonctionnement avec le wiggler W16 fermé. Les défauts de quadripôles droits et tournés sont inclus dans le modèle.
4.10 Cartes en fréquence de l’ALS prenant en compte le wiggler W16, les défauts quadripolaires mesurés et un couplage eﬀectif de 1%.
5.1 Une des quatre mailles de Super-ACO. Les moniteurs de position (BPM) sont situés dans chaque doublet de quadripôles (Q1–Q2) et (Q3–Q4).
5.2 Schéma équivalent d’un quadripôle combiné de Super-ACO. Un quadripôle ( $Q$ ) contient, en plus du gradient quadripolaire, une lentille décapolaire ( $LD$ ), un hexapôle ( $H$ ) et une bobine dipolaire appelée correcteur.
5.3 Valeurs rms du bruit pour chacun des BPM $i$ de Super-ACO dans les plans vertical et horizontal (précision : $5μm$ ). Les écarts entre les bruit pour 1 000 et 100 orbites peuvent s’expliquer par le fait que dans un cas les onduleurs sont fermés et que le courant stocké est diﬀérent.
5.4 Ecart absolu des dispersions horizontales théorique et mesurée dans les 16 BPM de Super-ACO — hexapôles éteints, onduleurs ouverts —.
5.5 Ecart relatif (en %) par rapport aux valeurs nominales des gradients pour chaque famille quadripolaire de Super-ACO: ces valeurs sont relativement faibles.
5.6 Fonctions $β$ avant (ligne) et après (étoile) l’ajustement en symétrie 4. L’expérience s’ajuste parfaitement sur la théorie, car les variations de gradients sont faibles, de l’ordre du pour mille.
5.7 Battement des fonctions $β$ en conservant la symétrie 4 de Super-ACO.
5.8 Gains et bruits des BPM et correcteurs de Super-ACO en symétrie 4. Pour un ajustement parfait, les bruits des BPM et correcteurs devraient être voisins de l’unité.
5.9 Ecart relatif (en %) des gradients par rapport aux valeurs nominales pour chacun des 32 quadripôles de Super-ACO. Ces écarts ne sont pas aléatoires : une variation importante du gradient est immédiatement rattrapée sur le quadripôle suivant (e.g. les quadripôles 4 et 5, 8 et 9, 20 et 21, 24 et 25, 27 et 29, 31 et 1).
5.10 Spectre des valeurs singulières obtenu par la méthode SVD. Un seuil apparaît nettement pour $λ16$ . Au-delà, les valeurs singulières sont petites, du même ordre de grandeur ; elles correspondent à des paramètres n’ayant pas un poids signiﬁcatif dans l’ajustement de la matrice-réponse de Super-ACO.
5.11 Ecart relatif (en %) de chacun des gradients des 32 quadripôles de Super-ACO par rapport aux valeurs nominales. Les variations sont de l’ordre du pour mille.
5.12 Ecart relatif (en %) des gradients de chacun des 32 quadripôles de Super-ACO par rapport aux valeurs moyennes obtenues pour les familles. Les variations sont faibles et compatibles en amplitude avec les mesures magnétiques (Barthès et al., 1990).
5.13 Fonctions $β$ de Super-ACO avant (ligne) et après (étoile) l’ajustement en brisant la symétrie 4. L’expérience s’ajuste parfaitement sur la théorie, car les variations de gradients sont faibles, de l’ordre du pour mille.
5.14 Battement des fonctions $β$ en brisant la symétrie 4 de Super-ACO. Ces variations sont faibles.
5.15 Dispersion horizontale mesurée dans les BPM (carré), ajustée dans les correcteurs (croix) et prédite par LOCO (ligne). L’écart le plus signiﬁcatif est dans les régions non dispersives de Super-ACO et peut être corrélé avec le facteur d’Amman.
5.16 Gains et bruits de BPM et correcteurs en brisant la symétrie 4 de Super-ACO — hexapôles éteints et onduleurs ouverts — Pour un ajustement parfait, les bruits des BPM et correcteurs devraient être voisins de l’unité.
5.17 Ecarts relatifs entre la fonction dispersion horizontale théorique et mesurée dans les 16 BPM de Super-ACO — hexapôles allumés —.
5.18 Ecarts relatifs des dispersions lorsque les hexapôles sont allumés par rapport au cas où ils sont éteints. Ces écarts relatifs (non tracés) sont plus signiﬁcatifs dans les régions à faible dispersion de Super-ACO.
5.19 Variation (en %) des gradients quadripolaires de Super-ACO en symétrie 4.
5.20 Gradients quadripolaires créés par l’orbite fermée traversant les hexapôles de Super-ACO.
5.21 Battement des fonctions $β$ de Super-ACO en symétrie 4 avec hexapôles expérimentaux.
5.22 Ecarts relatifs (en %) des gradients de Super-ACO — hexapôles allumés — Une structure 4-périodique semble exister : les variations de gradients sont plus signiﬁcatives dans les régions dispersives.
5.23 Gradients induits par les hexapôles lorqu’ils ont traversés par une orbite fermée non nulle.
5.24 Orbite fermée (of) horizontale dans les hexapôles déduites des gradients induits par les hexapôles. Les valeurs ne sont pas aléatoires mais reﬂétent la symétrie 4 de Super-ACO (cf. fonctions $β$ Fig. 5.25). Il y a aussi une corrélation avec la fonction dispersion mesurée dans les correcteurs.
5.25 Fonctions $β$ (à gauche) et leurs battements (à droite) en brisant la symétrie 4 de Super-ACO. L’optique est globalement peu perturbée.
5.26 Dispersion horizontale mesurée dans les BPM (croix) et ajustée dans les correcteurs (carrés) et prédite par LOCO. L’accord est bon compte tenu des erreurs dipolaires avec une erreur moyenne de 10%.
5.27 Gains et bruits de BPM et correcteurs de Super-ACO — hexapôles allumés, onduleurs ouverts — Pour un ajustement parfait, les bruits des BPM et correcteurs devraient être voisins de l’unité.
5.28 Synoptique de Super-ACO avec les onduleurs SU2, SU3, SU6, SU7 et SU8.
5.29 Ecart entre les dispersions horizontales mesurées dans les BPM de Super-ACO, hexapôles éteints et onduleurs ouverts par rapport au cas hexapôles allumés et onduleurs fermés.
5.30 Ecart entre les dispersions horizontales mesurées dans les BPM de Super-ACO, hexapôles allumés et onduleurs ouverts par rapport au cas hexapôles allumés et onduleurs fermés.
5.31 Valeurs des gradients pour chaque quadripôle, hexapôles allumés et onduleurs fermés. Ces valeurs sont élevées jusqu’à 6% mais on remarque que le code LOCO a compensé localement les glissements des nombres d’ondes induits par les onduleurs.
5.32 Fonctions $β$ calculées pour une machine théorique avec le logiciel BETA (ligne) et déduites l’ajustement avec les hexapôles et les onduleurs fermés (étoile). On observe un bon accord qualitatif avec le modèle (cf. Brunelle, 1992).
5.33 Bump statique dans la section droite SD1 de Super-ACO. Les BPM sont situés dans chaque quadripôle.
5.34 Calibration de l’électrode à 45 degrés en utilisant un bump statique horizontal. L’amplitude eﬀective (carrés) est l’amplitude réellement donnée au faisceau alors que la deuxième courbe (cercles) correspond au signal lu sur les BPM en salle de contrôle de Super-ACO.
5.35 Ecart entre l’amplitude eﬀective et celle lue sur les BPM en salle de contrôle de Super-ACO ; aux grandes amplitudes, les BPM saturent.
5.36 Signal sur le perturbateur P4 entre les tours 125 et 140 pour plusieurs tensions. L’échantillonneur s’est déclenché un tour plus tôt pour les deux premières amplitudes. Un kick a en réalité lieu sur 4 tours de la machine Super-ACO.
5.37 Signal (u.a.) en fonction du nombre de tours pour un kick à x=4.48 mm (faible amplitude) et son spectre de Fourier. La décohérence est faible et le signal peu bruité.
5.38 Signal (u.a.) en fonction du nombre de tours pour un kick à $x= 13.02$ kV (grande amplitude) et son spectre de Fourier. La décohérence est faible et le signal peu bruité.
5.39 Variation expérimentale (carrés) des nombres d’ondes $νx$ (à gauche) et $νy$ (à droite) avec l’amplitude horizontale. Dans chacun des cas, la variation du nombre d’ondes est quadratique avec l’amplitude.
5.40 Variation théorique des nombres d’ondes $νx$ (à gauche) et $νy$ (à droite) avec l’amplitude horizontale pour diﬀérents modèles de Super-ACO et comparaison à l’expérience (carrés) : modèle avec les chromaticités expérimentales (triangles), inﬂuence des décapôles (croix), modèle avec les courants mesurés des hexapôles (cercles). Quelque soit le modèle utilisé, le sens de variation de $νx$ est opposée à celui mesuré.
5.41 Diﬀérence (étoiles) des nombres d’ondes $νx$ (a) et $νy$ (b) mesurés et prédits par le modèle de Super-ACO. La loi ajustement (ligne) est dans les deux cas quadratique avec l’amplitude horizontale.
5.42 Variation des nombres d’ondes $νx$ (à gauche) et $νy$ (à droite) avec l’amplitude $x$ pour diﬀérents modèles de Super-ACO incluant une composante octupolaire. La force des octupôles est proportionnelle à celle des quadripôles : les facteurs de proportionnalité sont $0.26$ (losanges), $0.55$ (croix) et $0.8$ (triangles). Si l’octupôle permet de retrouver le bon comportement pour $νx$ , le désaccord reste grand pour $νy$ avec la mesure (carrés).
5.43 Signal (u.a.) sur le perturbateur P6 de Super-ACO entre les tours 125 et 140. Le kick a lieu sur 3 tours consécutifs.
5.44 Comparaison des amplitudes (u.a.) des signaux lus sur les perturbateurs P4 (cercles) et P6 (carrés) en fonction de la tension appliquée. La réponse est dans les deux cas linéaire. Pour que les deux courbes se superposent, il est nécessaire d’introduire un décalage de 0.65 kV (lié à l’étalonnage de la réponse des perturbateur de Super-ACO).
5.45 Comparaison de la variation du nombre d’ondes horizontal expérimental en fonction de l’amplitude : perturbateurs P6 (carrés) et P4 (cercles) de Super-ACO.
5.46 Comparaison de la variation du nombre d’ondes horizontal expérimental en fonction de l’amplitude : perturbateurs P4 (cercles) et P6 (carrés) de Super-ACO avec nouvelle correction.
5.47 Signal (u.a.) sur le perturbateur P4 de Super-ACO entre les tours 125 et 140. L’échantillonneur se déclenche un tour plus tôt pour les trois premières amplitudes. La réponse du perturbateur est une fonction linéaire de la tension appliquée à ses bornes.
5.48 Décohérence du faisceau de Super-ACO en fonction du nombre de tours pour diﬀérentes valeurs de kick du perturbateur P4. Le signal (u.a.) présente une décohérence rapide : 500 tours à faible amplitude (4.48 kV) et 100 tours à grande amplitude (11 kV). Au-delà, le signal est noyé dans le bruit.
5.49 Inﬂuence des familles d’hexapôles H1 et H2 sur les dimensions de l’ouverture dynamique de Super-ACO — hexapôles allumés : trait continu, éteints : trait pointillé —. Les dimensions réduites d’un facteur deux sont proches de celles mesurées en expérience dans le plan horizontal.
5.50 Variation du nombre d’ondes horizontal $νx$ avec l’amplitude horizontale. Modèles de Super-ACO avec les chromaticités expérimentales (triangles), les courants hexapolaires mesurés (cercles). Seule l’introduction de composante octupolaire précédemment proposée (croix) permet de retrouver la bonne loi de variation (carrés).
5.51 Schéma du proﬁl magnétique longitudinal d’un aimant de longueur $L$ . En approximation hard-edge, le champ magnétique est constant dans l’élément et nul à l’extérieur. En réalité, le champ magnétique décroît jusqu’à une valeur nulle de part et d’autre sur une longueur $Δ$ : on parle de champ de fuite.
5.52 Variation des nombres d’ondes $νx(x)$ et $νy(x)$ en fonction de l’amplitude horizontale $x$ . Sans pseudo-octupôle, le désaccord (cercles) avec la mesure (carrés) est important (sens de variation opposé pour $νx$ ). L’introduction du pseudo-octupôle (croix) induit par les champs de fuite des quadripôles de Super-ACO permet de trouver des glissements des nombres très proches de la mesure dans les deux plans. Glissements des nombres d’ondes induits : ( $-x2-- Δ νx = 322 βelect.$ et $Δνy=152 βx2-- elect.$ ).
5.53 Comparaison de la variation des nombres d’ondes $ν(x) x$ et $ν (x) y$ en fonction de l’amplitude horizontale. Après ajustement des pseudo-octupôles de Super-ACO (croix) sur la mesure (carrés), les accords sont excellents contrairement au modèle sans pseudo-octupôle (cercles). Glissements des nombres d’ondes induits : ( $2 Δ νaxjus= 311β-x-- elect.$ et $ajus --x2-- Δνy=180 βelect.$ ).
5.54 Sans composante octupolaire, la carte en fréquence (haut) du point de fonctionnement nominal de Super-ACO est repliée sur elle-même. La demi-ouverture dynamique (bas) associée est importante. La dynamique globale est peu marquée par les résonances, la diﬀusion est faible.
5.55 Lorsque la composante octupolaire de Super-ACO est modélisée, la dynamique est complètement modiﬁée : la carte en fréquence (haut) a une grande extension spatiale et présente une diﬀusion faible. La résonance $3νy=5$ , qui expérimentale détériore la dynamique du faisceau n’est pas excitée. L’ouverture dynamique (bas) associée reste grande.
5.56 Lorsque les familles hexapolaires H1 et H2 sont éteintes, la dynamique de Super-ACO modélisé avec la composante octupolaire est altérée : la carte en fréquence modiﬁée (haut), de nombreuses résonance sont excitées en particulier la résonance $3νy = 5$ , l’ouverture dynamique verticale (bas) est réduite de près d’un facteur deux (inﬂuence de $3 ν = 5 y$ ). L’ouverture dynamique horizontale est trois fois plus petite. Sur les deux ﬁgures, la diﬀusion est plus importante au voisinage des résonances.
5.57 Pour simuler quelle pourrait être la dynamique réelle de la Super-ACO, la composante octupolaire a été volontairement augmentée pour le point de fonctionnement nominal. Il est frappant de voir combien la dynamique est altérée : carte en fréquence réduite (haut) avec une grande diﬀusion. L’ouverture dynamique (bas) est constellée de résonance. Une analyse plus détaillée suggère comme nouvelles dimensions : $[− 15, 0] × [0, 6]$ mm, ce qui serait proche de l’expérience.
5.58 Identiﬁcation des principales résonances de la carte en fréquence 5.57 de Super-ACO. La résonance hexapolaire $3ν = 5 y$ limite la dynamique dans le plan vertical alors que la résonance $4νx = 19$ réduit son extension horizontale.
5.59 Schéma succinct d’un BPM à quatre boutons. Le bouton Haut Extérieur (HE) est utilisé pour réaliser des mesures tour par tour.
5.60 Synoptique de Super-ACO : position des BPM 4 et 12 ainsi que du perturbateur P4.
5.61 Calibration de l’électrode HE du BPM4 de Super-ACO : amplitude du bump statique en fonction du signal normalisé par le courant stocké. Amplitude eﬀective (carrés) et amplitude lues sur les BPM (il y a saturation aux grands amplitude).
5.62 Comparaison entre les valeurs lues en salle de contrôle et celles mesurées pour l’électrode HE du BPM4 de Super-ACO. On observe une caractérisation linéaire, mais aux grandes amplitudes les BPM saturent.
5.63 Exemple de signal (u.a.) en fonction du nombre de tours (a) avec son spectre de Fourier (b) : bump statique de 1 mm. Le niveau de bruit est élevé (pic à 0.25). La fréquence $2×ν s$ est observée.
5.64 Calibration de l’électrode HE du BPM12 de Super-ACO : amplitude du bump statique en fonction du signal normalisé par le courant.
5.65 Comparaison entre les valeurs lues en salle de contrôle et mesurées sur l’électrode HE du BPM12 de Super-ACO.
5.66 Signal collecté (u.a.) sur le bouton HE en fonction du nombre de tours pour un kick de 10.87 kV : la décohérence est faible.
5.67 Trajectoire dans le pseudo-espace des phases ( $x1, x2$ ). L’épaississement de l’ellipse est une conséquence de la faible décohérence du faisceau (sur 1 000 tours, cf. Fig. 5.66).
5.68 Trajectoire dans l’espace des phases ( $x1, x′1$ ) : la pente de l’ellipse est directement reliée au fonctions de Twiss par le facteur $− α1 β1$ . L’amplitude est donnée dans le coin supérieur gauche des ﬁgures.
5.69 Espace des phases normalisé pour de faibles amplitudes de kicks : l’épaississement des ellipses provient de la décohérence du faisceau. L’amplitude est donnée dans le coin supérieur gauche des ﬁgures.
5.70 Espace des phases normalisé $(x1,x′) 1$ pour de grandes amplitudes : les ellipses sont déformées par les nonlinéarités. L’amplitude est donnée dans le coin supérieur gauche des ﬁgures.
5.71 Courbe en fréquence $νx$ en fonction de l’amplitude horizontale. Comparaison entre la mesure (carrés) et diﬀérentes modélisations de Super-ACO : sans composante octupolaire (cercles) et avec pseudo-octupôles (croix). L’écart subsistant peut être expliqué par l’incertitude sur les fonctions $β$ .
5.72 Signal (u.a.) collecté en fonction du nombre de tours pour un kick de 9.04 kV : la décohérence est un peu plus importante que pour le minimum de couplage.
5.73 Espace des phases normalisé $(x1,x′1)$ de Super-ACO pour le point de routine : aux grandes amplitudes les trajectoires sont fortement déformées par les nonlinéarités. Les ellipses de phases sont moins nettes que précédemment : c’est la conséquence de l’augmentation de la décohérence. L’amplitude est donnée dans le coin supérieur gauche de chaque ﬁgure.
5.74 Courbes en fréquence $νx$ (à gauche) et $νy$ (à droite) en fonction de l’amplitude horizontale. Comparaison entre la mesure (carrés) et diﬀérents modèles de Super-ACO : sans composante octupolaire (cercles) et avec pseudo-octupôles (croix). Le modèle avec les pseudo-octupôles donne un bon accord avec la mesure.
5.75 Signal (u.a.) collecté en fonction du nombres de tours pour un kick de 6.53 kV : la décohérence a lieu sur 150 tours. Au-delà, le signal est noyé dans le bruit.
5.76 Espace des phases normalisé $′ (x1,x 1)$ de Super-ACO lorsque les familles hexapolaires H1 et H2 sont éteintes en réalisant le minimum de couplage : la décohérence est d’autant plus rapide que la tension du perturbateur est élevé (trajectoires de plus en plus spiralées dans l’espace des phases). L’amplitude initiale du signal est donné dans le coin supérieur gauche de chaque ﬁgure.
5.77 Courbe en fréquence $ν x$ en fonction de l’amplitude horizontale : familles hexapolaires H1 et H2 éteintes avec minimum de couplage. Comparaison entre la mesure (carrés) et diﬀérentes modélisations de Super-ACO : sans composante octupolaire (cercles) et avec pseudo-octupôles (croix). Le modèle avec les pseudo-octupôles donne un accord remarquable avec la mesure.
5.78 Signal collecté pour un kick de 5.92 kV : la décohérence est très rapide (200 tours).
5.79 Espace des phases normalisé $′ (x1, x1)$ de Super-ACO lorsque les familles H1 et H2 sont éteintes. La présence de couplage diminue les dimensions de l’ouverture dynamique et accélère le phénomène de décohérence. L’amplitude initiale du signal est donnée dans le coin supérieur gauche de chaque ﬁgure.
5.80 Courbes en fréquence $ν x$ (à gauche) et $νy$ (à droite) en fonction de l’amplitude horizontale : familles hexapolaires H1 et H2 éteintes sans minimum de couplage. Comparaison entre la mesure (carrés) et diﬀérentes modélisations de Super-ACO : sans composante octupolaire (cercles) et avec pseudo-octupôles (croix). Le modèle avec les pseudo-octupôles donne un bon accord bon le nombre d’ondes horizontal.
A.1 Schéma illustrant la rotation d’un angle $θ$ d’un élément rectiligne — inspiré de Forest, 1998 —
B.1 Carte en fréquence (haut) et ouverture dynamique (bas) de l’optique faible émittance numéro 1 de SOLEIL ( $βx = 10$ m et $βy = 8$ m). L’ouverture dynamique est grande. Elle est marquée par les résonances ; en particulier, la protubérance observée vers $x = 38$ mm correspond à la résonance d’ordre 9. La diﬀusion est faible au voisinage du point de fonctionnement (vert), plus importante au voisinage des résonances et élevée sur le bord de l’ouverture dynamique (rouge).
B.2 Carte en fréquence et ouverture dynamique pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $βx = 10$ m et $βy = 8$ m) pour l’optique 1 modiﬁée de SOLEIL. L’ouverture dynamique est presque aussi grande que pour la première optique ; la carte en fréquence est repliée sur elle-même : sa lecture en est rendue plus diﬃcile. Son extension spatiale est réduite, moins de résonances sont rencontrées. La diﬀusion des orbites est globalement plus faible.
B.3 Haut : Carte en fréquence tracée pour le premier ( $x > 0,y > 0$ ) et second ( $x < 0,y > 0$ ) quadrant de l’ouverture dynamique. Super-ACO est modélisé comme machine idéale. Bas : Ouverture dynamique associée ( $βx = 5.6$ m et $βy = 10.8$ m). Le point de fonctionnement est le coin supérieur droit de la carte (origine de l’ouverture dynamique). La dynamique est principalement dominée par la résonance d’ordre 3 $(νx + 2νy − 2 × 4 = 0)$ qui donne la limite verticale de l’ouverture dynamique ( $y = 20$ mm). Toute la partie $y > 20$ mm sur l’ouverture dynamique correspond à l’île de cette résonance : au centre la diﬀusion est faible (vert), car les particules sont capturée par la résonance et y restent ; sur les bords (régions hyperboliques)la diﬀusion est élevée (orange-rouge).
B.4 Carte en fréquence (haut) et ouverture dynamique (bas) calculées en incluant dans le modèle de Super-ACO les mesures magnétiques des quadripôles droits ( $βx = 5.6$ m et $βy = 10.8$ m). La diﬀusion est globalement plus élevée, les largeurs de résonances plus grandes. L’inﬂuence des défauts magnétiques reste faible (mêmes dimensions de l’ouverture dynamique).
B.5 Super-ACO deuxième quadrant ( $x < 0,y > 0$ ) : carte en fréquence et ouverture dynamique pour le point de fonctionnement nominal ( $βx=5.5$ m et $βy = 11.5$ m). La carte en fréquence est très compacte : peu de résonances sont rencontrées. Il est diﬃcile de comprendre avec cette modélisation les observations expérimentales.
B.6 Sans composante octupolaire, la carte en fréquence de Super-ACO (haut) est repliée sur elle-même. L’ouverture dynamique (bas) est grande, la dynamique est peu marquée par les résonances.
B.7 Avec composante octupolaire, la dynamique de Super-ACO est complètement modiﬁée : grande extension spatiale de la carte en fréquence (haut) mais ouverture dynamique (bas) plus grande.
B.8 Avec composante octupolaire, familles hexapolaires H1 et H2 éteintes : la dynamique de Super-ACO est altérée : carte en fréquence modiﬁée (haut), ouverture dynamique verticale (bas) réduite de près d’un facteur deux (cf. Fig. B.7).
B.9 Composante octupolaire surestimée : la dynamique de Super-ACO est fortement altérée, carte en fréquence tronquée (haut) avec une grande diﬀusion et l’ouverture dynamique (bas) réduite dans les deux plans (cf. Fig. B.7).
B.10 Carte en fréquence (haut) et ouverture dynamique (bas) : premier jeu hexapolaire de l’ESRF pour une surface de section en $s = 0$ ( $βx = 35.6m$ et $βy = 2.5m$ ). La dynamique est dominée par la résonance de couplage 3:-2:0 et la résonance entière $νx = 36$ . Les zones elliptiques et hyperboliques associées sont nettement identiﬁables sur l’ouverture dynamique.
B.11 Carte en fréquence et ouverture dynamique pour le second réglage de l’ESRF hexapolaire calculée pour une surface de section à $s = 0$ ( $βx = 36 m$ et $βy = 2.5 m$ ). La dynamique est dominée par la résonance $3νx − 2νy − 5 × 16 = 0$ atteinte à grande amplitude.
B.12 Carte en fréquence (haut) et ouverture dynamique (bas) calculées pour une maille parfaite de l’ALS pour une surface de Poincaré en $s = 0$ ( $β = 11.3m x$ et $β = 4.0 m y$ ). La diﬀusion permet de nettement distinguer le réseau de résonance sur les deux ﬁgures.
B.13 Carte en fréquence et ouverture dynamique : maille avec défauts quadripolaires mesurés pour un surface de section en $s = 0$ ( $βx = 11.3m$ et $βy=4.0m$ ). La 12-périodicité de l’ALS est brisée, l’extension spatiale de la carte en fréquence est réduite d’un facteur 2 dans le plan vertical.
B.14 Carte en fréquence (a) et ouverture dynamique (b) de l’ALS ( $βx=11.3 m$ et $βy = 4.0 m$ ) : inﬂuence du couplage de 1% ajusté à partir d’une distribution de quadripôles tournés. La diﬀusion est globalement plus élevée. Seule la région voisine du point de fonctionnement reste régulière.
B.15 Espace des conﬁgurations et carte en fréquence expérimentale pour un point de fonctionnement antérieur avec mesure expérimentale de la diﬀusion des orbites (Steier, Robin, Laskar, Nadolski, 2000).

[prev] [prev-tail] [front] [up]